[論文レビュー] Partial bi(co)module algebras, globalizations, and partial (L,R)-smash products

Felipe Castro, Antonio Paques+2 more|arXiv (Cornell University)|May 19, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、部分ホップ作用の文脈において、グローバルな $(L,R)$-スモーズ積の一般化として、部分的双(余)加群代数を導入し、部分的 $(L,R)$-スモーズ積を構成する。部分 $H$-双加群および双余加群代数のグローバライゼーションのための条件を確立し、$H^0$ が点を分離する場合、それらのグローバライゼーションが $H^0$-双加群として同型であることを証明する。また、部分的 $(L,R)$-スモーズ積が結合的代数をなすこと、および特定のイデムポテン要素と作用条件を満たす場合にユニタリ構造を有することが示される。

ABSTRACT

In this paper we introduce the notions of partial bimodule algebra and partial bico- module algebra. We also deal with the existence of globalizations for these structures, generalizing related results appeared in [2, 4]. As an application we construct the partial (L;R)-smash product, extending the corresponding global notion appeared in [14] to the context of partial Hopf actions.

研究の動機と目的

• グローバルな $(L,R)$-スモーズ積の概念を、部分ホップ作用の文脈に一般化すること。
• 部分 $H$-双加群および双余加群代数を、部分ホップ作用の自然な拡張として定義し、それらを研究すること。
• 部分 $H$-双加群および双余加群代数のグローバライゼーションの存在と構造を調査すること。
• 部分 $H$-双加群代数と部分 $H$-双余加群代数の部分的 $(L,R)$-スモーズ積を、新たな結合的代数として構成すること。
• 部分的 $(L,R)$-スモーズ積にユニットが存在する条件を特定し、イデムポテン要素と余単位との整合性を用いて同定すること。

提案手法

• 左および右の部分作用が公理 (LPMA1)-(LPMA3) を満たし、それらの右側対応を満たす部分 $H$-双加群代数の概念を導入する。
• スウィードラーの記法と有限双対 $H^0$ を用いて、双対公理を満たす左および右の部分コアクションにより、部分 $H$-双余加群代数を定義する。
• 部分 $H$-双余加群代数と部分 $H^0$-双加群代数の間の対応を確立し、$H^0$ が点を分離する場合、それらのグローバライゼーションが $H^0$-双加群として同型であることを示す。
• 部分作用およびコアクションを用いて、乗法 $(a\natural u)(b\natural v) = (a\flat u^{+1})(u^{-1}\rightharpoonup b)\natural u^{-0}v^{+0}$ で定義される新たな代数 $A\natural\bar{A}$ として、部分的 $(L,R)$-スモーズ積 $A\natural\bar{A}$ を構成する。
• 部分作用およびコアクションの公理を用いて結合的を証明し、成分ごとの計算により乗法則を検証する。
• 特に、$a \in A$ および $u \in \bar{A}$ のイデムポテン要素と、余単位との整合性を満たす条件が、$a\natural u$ が $A\natural\bar{A}$ 内のユニットとなる十分条件であることを同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分 $H$-双加群代数がグローバライゼーションをもつ条件は何か？ また、部分 $H$-双余加群代数のグローバライゼーションとはどのように関係するか？
• RQ2 もし $H^0$ が点を分離するならば、部分 $H$-双加群代数のグローバライゼーションと部分 $H$-双余加群代数のグローバライゼーションの間に、自然な同型が存在するか？
• RQ3 部分 $H$-双加群代数と部分 $H$-双余加群代数の部分的 $(L,R)$-スモーズ積にユニットを導入できるか？ そのために必要な条件は何か？
• RQ4 部分作用およびコアクションの公理は、部分的 $(L,R)$-スモーズ積の結合的性を保証するためにどのように作用するか？
• RQ5 $A$ および $\bar{A}$ のイデムポテン要素は、部分的 $(L,R)$-スモーズ積にユニタリ構造を構成する際に果たす役割は何か？

主な発見

• もし $H^0$ が点を分離するならば、部分 $H$-双加群代数のグローバライゼーションと部分 $H$-双余加群代数のグローバライゼーションは、$H^0$-双加群として同型である。
• 部分的 $(L,R)$-スモーズ積 $A\natural\bar{A}$ は、定義された乗法則に従い、部分作用およびコアクションの公理を用いた直接計算により、結合的代数であることが確認された。
• 非ゼロのイデムポテン要素 $a \in A$ および $u \in \bar{A}$ が $h\rightharpoonup a = \varepsilon(h)a$ および $a\leftharpoonup h = \varepsilon(h)a$ を満たし、$\rho(u) = u \otimes 1_H$ および $\lambda(u) = 1_H \otimes u$ を満たすならば、$a\natural u$ は $A\natural\bar{A}$ 内のイデムポテン要素である。
• すべての4条件 (1)-(4) が満たされるとき、$a\natural u$ は $A\natural\bar{A}$ 内の両側単位元である。よって、$A\underline{\natural}\bar{A}$ は単位元 $a\natural u$ を持つユニタリ代数である。
• この構成は、標準的スモーズ積およびグローバルな $(L,R)$-スモーズ積を一般化しており、それらを部分的設定に拡張している。
• 例として $H = \mathbb{H}_4$、$A = \bar{A} = \Bbbk$ および特定の部分作用とコアクションをとると、$(1_\Bbbk \natural 1_\Bbbk)^2 = 0$ が可能であり、ユニットが存在しない場合があることが示された。これは、$r, s, t, u$ に関する条件が満たされない限り、ユニットが保証されないことを示している。