[論文レビュー] Partial fraction decompositions and an algorithm for computing the vector partition function

Todor Milev|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2009

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、点を頂点とする多面的錐上で、ローレンス多項式環における部分分数分解を用いて、ベクトル分割関数を準多項式として計算する2つのアルゴリズムを提示する。特筆すべきは、例外的根系（E6: 6, E7: 12, E8: 60, F4: 12, G2: 6）におけるコスタント分割関数の周期に対する明示的な上限を提供することである。また、より高速なアルゴリズムをLGPLv3.0ライセンスのもとで公開されたC++プログラムとして実装し、vectorpartition.sourceforge.netにて入手可能である。

ABSTRACT

This paper gives an exposition of well known results on vector partition functions. The exposition is based on works of M. Brion, A. Szenes and M. Vergne and is geared toward explicit computer realizations. In particular, the paper presents two algorithms for computing the vector partition function with respect to a finite set of vectors $I$ as a quasipolynomial over a finite set of pointed polyhedral cones. We use the developed techniques to relate a result of P. Tumarkin and A. Felikson (and present an independent proof in the particular case of finite-dimensional root systems) to give bounds for the periods of the Kostant partition functions of $E_6$, $E_7$, $E_8$, $F_4$, $G_2$ (the periods are divisors of respectively 6, 12, 60, 12, 6). The first of the described algorithms has been realized and is publicly available under the Library General Public License v3.0 at {http://vectorpartition.sourceforge.net/}. We include (non-unique) partial fraction decompositions for the generating functions of the Kostant partition function for $A_2$, $A_3$, $A_4$, $B_2$, $B_3$, $C_2$, $C_3$, $G_2$ in the appendix.

研究の動機と目的

• 多面的錐上でベクトル分割関数を準多項式として計算する明示的かつ計算可能であるアルゴリズムの開発。
• 入力ベクトルのランクn-1部分集合が張る超平面に平行な壁を持つ準多項式性の構成的証明。
• 部分分数分解技術を用いて、例外的リー代数におけるコスタント分割関数の周期に対する上界を導出すること。
• ベクトル分割関数およびそのチャーマー分解を計算する高パフォーマンスなC++プログラムの実装および公開。
• 古典的根系（A2–A4, B2–B3, C2–C3, G2）におけるコスタント分割関数の母関数の非一意的部分分数分解の提示。

提案手法

• 分母が (1−x^α)^l の形をとる、ℚ[x₁,…,xₙ, x₁⁻¹,…,xₙ⁻¹] 上の部分分数分解を用い、計算効率を高めるために複素数の単位根を避ける。
• 初期部分分数分解の生成に、拡張されたSzenes-Vergne公式（補題2.1(c)）を用いる。
• 繰り返し適用可能な簡略化アルゴリズム（6.1.1節）を適用し、1/(1−x^α) = (1+x^α)/(1−x^{2α}) の恒等式を用いて短い根分母を除去する。
• 2段階のアルゴリズムを採用：まず、再帰的簡略化プロセスにより有理関数を単純化；次に、冗長な短い根を除去する変換を実行。
• 多項式、有理数演算、ハッシュテーブル、多面的錐分割のためのテンプレートクラスをカスタム実装したC++プログラムを用いる。
• 正しさの検証として、各変換の前後で有理数値を代入し、チェックサムを計算することでプログラミングエラーを検出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベクトル分割関数 P_I(γ) は、有限個の閉かつ点を頂点とする多面的錐上で、どのようないずれの形の準多項式関数として表現されるか？
• RQ2 複素数の単位根を避けて、ベクトル分割関数の母関数に対して部分分数分解を体系的に計算する方法は何か？
• RQ3 例外的根系 E6, E7, E8, F4, G2 におけるコスタント分割関数の正確な周期は何か？
• RQ4 ベクトル分割関数およびそのチャーマー分解を計算する効率的で公開可能なアルゴリズムを実装できるか？
• RQ5 提案された2つのアルゴリズムの性能はどのように比較され、古典的根系に対してはどのような改良が効率性を向上させるか？

主な発見

• ベクトル分割関数 P_I(γ) は、入力集合 I のランクn-1部分集合が張る超平面に平行な壁を持つ、有限個の閉かつ点を頂点とする多面的錐上で準多項式関数である。
• 第2節および第3節のアルゴリズム（部分分数分解に基づく）は、第4節の基本的アルゴリズムよりも実用的に著しく高速である。
• E6, E7, E8, F4, G2 におけるコスタント分割関数の周期は、それぞれ6, 12, 60, 12, 6 以下であり、これらの値の約数である。
• 第6.1.1節の改良版アルゴリズム（古典的根系に特化）は、第2.3節の一般アルゴリズムに比べ、最適化された簡略化ルールのおかげで優れた性能を示す。
• ベクトル分割関数プログラムの実装は、http://vectorpartition.sourceforge.net/ にてLGPLv3.0ライセンスのもとで公開されている。
• A2, A3, A4, B2, B3, C2, C3, G2 について、コスタント分割関数の母関数の非一意的部分分数分解が明示的に計算され、付録にリストアップされている。