[論文レビュー] Partial twists and exotic Stein fillings

Kouichi Yasui|arXiv (Cornell University)|May 31, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 34被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、ドメイン上の正則許容的ルフスキ・ファイブレーション（PALFs）における部分的ねじれを用いて、同じ接触3次元多様体の無限個のペアワイズエキゾチックなシュタイン充填を生成するアルゴリズムを導入する。部分的ねじれを用いて部分多様体に沿った制御されたデーンねじりによってモノドロミー因子分解を変更することで、同一の基本群、ホモロジー、境界ホモロジー、交差形式を保ちつつ、微分同相でないが位相的に同相な充填を生成する。これらの充填は共通のブロー・アップに埋め込める。主な貢献は、広範な4次元多様体のクラスにおいて、無限個のエキゾチック充填にわたるトポロジカル不変量の実現である。

ABSTRACT

We give an algorithm which produces infinitely many pairwise exotic Stein fillings of the same contact 3-manifolds, applying positive allowable Lefschetz fibrations over the disk. As a corollary, for a large class of Stein fillings, we realize the topological invariants (i.e. fundamental group, homology group, homology group of the boundary, and intersection form) of each filling as those of infinitely many pairwise exotic Stein fillings. Furthermore, applying the algorithm, we produce various contact 3-manifolds of support genus one each of which admits infinitely many pairwise exotic Stein fillings.

研究の動機と目的

• 同じ接触3次元多様体に対して、体系的なアルゴリズムを用いて無限個のペアワイズエキゾチックなシュタイン充填を構成すること。
• これらのエキゾチック充填にわたって、基本群、ホモロジー、境界ホモロジー、交差形式といった重要なトポロジカル不変量を保存すること。
• このようなエキゾチック充填が、元の多様体の共通のブロー・アップに埋め込めるということを示すこと。
• 境界接触3次元多様体のサポート生成度が1であることを示し、適合するオープンブックの最小ページ生成度を示すこと。
• 既知のエキゾチック充填に関する結果を拡張し、任意の有限生成基本群と特定の交差形式を、無限個の微分同相でない充填に実現すること。

提案手法

• アルゴリズムは、与えられたPALFに対して、ファイバー内の曲線に沿った制御されたデーンねじりを用いて、2つの部分多様体（$\mathbb{S}_\alpha$ および $\mathbb{S}_a$）に沿った部分的ねじれを適用することで、変更を行う。
• 変更後の曲線がねじれパラメータに対して独立のままであるように保つために、$R$-変更を用いる。これによりモノドロミー因子分解の構造が保たれる。
• PALFのモノドロミー因子分解を、$(\gamma_1, \beta, \gamma_{-1})$ を $(\gamma_1^{(i)}, \beta^{(i)}, \gamma_{-1}^{(i)})$ のような部分列に置き換えることで、新たな充填を生成する。
• すべての結果得られるPALFが、1つの追加の特異ファイバーをもつ共通のより大きなPALFの部分PALFであることを保証することで、滑らかな埋め込みが保証される。
• このアルゴリズムは、 genus-one ファイバーと6つの境界成分をもつ基本PALF $P_j$ に適用され、3つの要素からなるタプル $m = (m_0, m_1, m_2)$ と2つの要素からなるタプル $l = (l_1, l_2)$ を用いて、家族 $P^{(p)}_{i,j}$ に拡張される。
• 結果として得られる充填は、基本群の計算と定理3.8の適用により、すべて同相だが微分同相でないことが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1つの接触3次元多様体に対して、重要なトポロジカル不変量を保ちつつ、無限個のペアワイズエキゾチックなシュタイン充填を構成できるか？
• RQ2 無限個の微分同相でないシュタイン充填にわたって、基本群、ホモロジー、交差形式をどの程度まで保存できるか？
• RQ3 無限個のエキゾチックなシュタイン充填をもつ接触3次元多様体のサポート生成度は何か？
• RQ4 このアルゴリズムを用いて、任意の有限生成基本群を無限個のエキゾチック充填に実現できるか？
• RQ5 すべてのエキゾチック充填が滑らかに埋め込める共通の環境多様体が存在するか？

主な発見

• アルゴリズムにより、同じ接触3次元多様体に対して無限個のペアワイズエキゾチックなシュタイン充填が生成され、すべての充填が同相だが微分同相でない。
• 基本群、ホモロジー群、境界のホモロジー群、交差形式は、すべての充填で保存されており、元のPALF $X$ と同型である。
• 任意の有限生成群 $G$ に対して、基本群が $G$ と同型である無限個のペアワイズエキゾチックなシュタイン充填が存在する。これは補題1.2の確認である。
• 任意の整数係数対称双一次形式 $Q$ およびランク2の不定単位的形式 $I$ に対して、交差形式が $Q \oplus I$ である simply connected なエキゾチックなシュタイン充填が無限個存在する。これは補題1.3の通りである。
• 境界接触3次元多様体のサポート生成度は1である。これは、genus-one ページをもつ適合するオープンブックの存在によって示された。
• すべてのエキゾチック充填は、ある $k$ に対して、同じ多様体 $X \# k\overline{\mathbb{C}P^2}$ に滑らかに埋め込まれ、1つの特異ファイバーを追加した共通のより大きなPALFにも埋め込める。