[論文レビュー] Partially ordered patterns and compositions

Silvia Heubach, Sergey Kitaev+1 more|ArXiv.org|Oct 1, 2006

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 16被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、整数の組成における部分順序付きパターン（POPs）を導入し、解析する。これは、置換および語におけるパターン回避の先行研究を拡張したものである。本稿では、分割されたPOPの重複のない最大個数の生成関数のqアナログを導出し、Kitaev（2006）およびKitaevとMansour（2006）の結果を生成関数の技法と多パターン回避を用いて、組成の文脈に一般化する。

ABSTRACT

A partially ordered (generalized) pattern (POP) is a generalized pattern some of whose letters are incomparable, an extension of generalized permutation patterns introduced by Babson and Steingrimsson. POPs were introduced in the symmetric group by Kitaev [Partially ordered generalized patterns, Discrete Math. 298 (2005), 212-229; Introduction to partially ordered patterns, Discrete Appl. Math., to appear], and studied in the set of $k$-ary words by Kitaev and Mansour [Partially ordered generalized patterns and $k$-ary words, Annals of Combinatorics 7 (2003) 191-200]. Moreover, Kitaev et al. [S. Kitaev, T. McAllister and K. Petersen, Enumerating segmented patterns in compositions and encoding with restricted permutations, preprint] introduced segmented POPs in compositions. In this paper, we study avoidance of POPs in compositions and generalize results for avoidance of POPs in permutations and words. Specifically, we obtain results for the generating functions for the number of compositions that avoid shuffle patterns and multi-patterns. In addition, we give the generating function for the distribution of the maximum number of non-overlapping occurrences of a segmented POP $τ$ (that is allowed to have repeated letters) among the compositions of $n$ with $m$ parts in a given set, provided we know the generating function for the number of compositions of $n$ with $m$ parts in the given set that avoid $τ$. This result is a $q$-analogue of the main result in [S. Kitaev, T. Mansour, Partially ordered generalized patterns and $k$-ary words, Annals of Combinatorics 7 (2003) 191-200].

研究の動機と目的

• 置換および語におけるパターン回避理論を、部分順序付きパターン（POPs）を用いて組成へと拡張すること。
• 置換および語における結果に類似した、組成におけるパターンの重複のない最大個数の生成関数を一般化すること。
• KitaevとMansour（2006）の語に関する主結果のqアナログを、組成に適用可能な形で提供すること。
• 特にシャッフルパターンおよび多パターンを含む、POPsを回避する組成の生成関数を計算するためのフレームワークを確立すること。

提案手法

• 与えられた集合Aの部品を持つ組成の個数をモデル化するため、生成関数を用いる。このとき、POPsを回避する組成を扱う。
• POPs τを複数回連結して形成される多パターンに、定理3.7を適用し、重複のない出現の生成関数を導出可能にする。
• 変数x（和nのため）およびy（部品数mのため）の2変数生成関数を導入。さらに、パターンの重複のない出現の最大個数を追跡するパラメータtを追加する。
• 再帰的分解および双対性の議論を用いて、重複のないPOPs出現の分布の閉形式表現を導出する。
• 単一のPOPs τの回避に関する既知の生成関数を活用し、有理関数表現を用いて全分布を構築する。
• 特に降下（パターン12）の具体例にこの手法を適用し、重複のない降下の最大個数（MND）の明示的公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分順序付きパターン（POPs）の概念を整数の組成の文脈にどのように拡張できるか。
• RQ2 特にPOPsが分割されたパターンである場合に、与えられたPOPsを回避する組成の生成関数は何か。
• RQ3 置換および語における結果に類似して、組成におけるパターンの重複のない出現のqアナログ分布を導出できるか。
• RQ4 与えられた集合Aの部品を持つ組成において、分割されたPOPs τの重複のない出現の最大個数はどのように分布するか。
• RQ5 与えられた集合Aの部品を持つ組成における、重複のない降下の最大個数（MND）の生成関数は何か。

主な発見

• 本稿では、分割されたPOPs τの重複のない出現の最大個数の分布のqアナログ生成関数を導出し、KitaevとMansour（2006）の語に関する定理5.1を一般化する。
• 任意の正の整数の順序付き集合Aと連続パターンτに対して、τ-nlap(σ)の分布の生成関数は、C_τ^A(x,y) / [1 - t((y∑_{a∈A} x^a - 1)C_τ^A(x,y) + 1)] で与えられる。
• τが降下パターン12である場合、MNDの生成関数は明示的に 1 / [(1−x)(1−x²) − x³t] として計算され、tに関する級数展開により重複のない降下の分布が示される。
• s個のτのコピーからなる多パターンを回避する組成の生成関数は、定理3.7を用いて再帰的に表現され、生成関数の操作により全分布が導出可能である。
• 本手法により、置換および語における回避フレームワークが組成へと成功裏に一般化され、この新しい文脈におけるPOPs回避の体系的アプローチが提供される。
• 本結果により、POPsの重複のない出現を分析する包括的な生成関数フレームワークが確立され、降下のような重要なケースについて明示的公式が得られる。