[論文レビュー] Partition Functions of Matrix Models as the First Special Functions of String Theory I. Finite Size Hermitean 1-Matrix Model

A. Alexandrov, А. Миронов+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2003

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 15被引用数 100

ひとこと要約

この論文は、有限サイズのヘルミート型1行列模型の分配関数を、古典的特殊関数に類似した弦理論における基本的特殊関数として扱うことを提案する。D-加群構造の分析、バーリング型制約の導出、多ループ相関関数および前ポテンシャルの計算を通じて、行列模型の分配関数を弦理論における普遍的な構築ブロックとして系統的かつ体系的に研究する基盤を確立する。

ABSTRACT

Even though matrix model partition functions do not exhaust the entire set of tau-functions relevant for string theory, they seem to be elementary building blocks for many others and they seem to properly capture the fundamental symplicial nature of quantum gravity and string theory. We propose to consider matrix model partition functions as new special functions. This means they should be investigated and put into some standard form, with no reference to particular applications. At the same time, the tables and lists of properties should be full enough to avoid discoveries of unexpected peculiarities in new applications. This is a big job, and the present paper is just a step in this direction. Here we restrict our consideration to the finite-size Hermitean 1-matrix model and concentrate mostly on its phase/branch structure arising when the partition function is considered as a D-module. We discuss the role of the CIV-DV prepotential (as generating a possible basis in the linear space of solutions to the Virasoro constraints, but with a lack of understanding of why and how this basis is distinguished) and evaluate first few multiloop correlators, which generalize semicircular distribution to the case of multitrace and non-planar correlators.

研究の動機と目的

• 行列模型の分配関数を、特定の応用に依存しない弦理論における基本的特殊関数として確立すること。
• 有限サイズのヘルミート型1行列模型を、このような特殊関数のプロトタイプとして分析すること。
• 分配関数のD-加群構造と、バーリング型制約下での解空間の構造を調査すること。
• 多ループ相関関数、前ポテンシャル、生成関数といった重要な量を計算・表形式でまとめ、将来的な参照用にすること。

提案手法

• 有限サイズのヘルミート型1行列模型におけるバーリング型制約のD-加群解としての分配関数の形式化。
• 直交多項式技法を用いてガウス型多重密度および相関関数の再帰関係を導出すること。
• ギヴェンタル風の分解と積分表現（例：ラプラス変換、輪環積分）を用いて2点レゾルベントを表現すること。
• 調和振動子の行列要素と生成関数を用いて、密度および相関関数の明示的表現を計算すること。
• バーリング型制約の解空間における基底としてのCIV-DV前ポテンシャルの役割を分析すること。
• 連続極限の評価を行い、一般化されたコンツェビッチ模型など他の行列模型との関係を同定すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 行列模型の分配関数は、どのように系統的に分類され、弦理論における新しい特殊関数として表形式でまとめられるか？
• RQ2 有限サイズのヘルミート型1行列模型におけるバーリング型制約の解空間の構造は何か？
• RQ3 なぜCIV-DV前ポテンシャルが解空間の基底として際立っているのか？その物理的・数学的意義は何か？
• RQ4 多重トレースおよび非平面的相互作用の存在下で、多ループ相関関数は半円分布をどのように一般化するか？
• RQ5 ガウス型および非ガウス型の分配関数の明示的解析的表現と展開（前ポテンシャルおよび生成関数を含む）は何か？

主な発見

• 有限サイズのヘルミート型1行列模型の分配関数が、種数および結合定数でパrameter化された豊富な解構造を持つバーリング型制約のD-加群解であることが示された。
• 最初の数個の多ループ相関関数が明示的に計算され、平面的でないおよび多重トレースの相関関数に半円分布が一般化された。
• 輪環積分と生成関数を用いて2点レゾルベントの閉形式表現が導出され、低Nでの結果と整合的であることが確認された。
• CIV-DV前ポテンシャルがバーリング型制約の解空間における候補基底として特定されたが、その特異的役割の理由は未解明のままである。
• ガウス型多重密度および相関関数の明示的再帰関係と解析的表現が提供され、N展開および前ポテンシャルのt展開も含む。
• 2点相関関数の生成関数が、超幾何関数に類似した級数および輪環積分の形で表現され、N=3までで整合性が検証された。