[論文レビュー] Patch-wise Quadrature of Trimmed Surfaces in Isogeometric Analysis

Michael Loibl, Leonardo Leonetti+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2023

Advanced Numerical Analysis TechniquesEngineering被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Isogeometric AnalysisにおけるトリムドNURBS表面のパッチ単位の数値積分則を提案する。既存の1次元最適数値積分技術を2次元のトリムド幾何形状に拡張し、実際のパラメータ化およびトリミング境界に適合した積分点を適応的に設定することで、線形および非線形シェル解析においても精度を維持しながら数値積分点を大幅に削減する。標準的なトリミング手順に比べて優れた性能を示す。

ABSTRACT

This work presents an efficient quadrature rule for shell analysis fully integrated in CAD by means of Isogeometric Analysis (IGA). General CAD-models may consist of trimmed parts such as holes, intersections, cut-offs etc. Therefore, IGA should be able to deal with these models in order to fulfil its promise of closing the gap between design and analysis. Trimming operations violate the tensor-product structure of the used Non-Uniform Rational B-spline (NURBS) basis functions and of typical quadrature rules. Existing efficient patch-wise quadrature rules consider actual knot vectors and are determined in 1D. They are extended to further dimensions by means of a tensor-product. Therefore, they are not directly applicable to trimmed structures. The herein proposed method extends patch-wise quadrature rules to trimmed surfaces. Thereby, the number of quadrature points can be signifficantly reduced. Geometrically linear and non-linear benchmarks of plane, plate and shell structures are investigated. The results are compared to a standard trimming procedure and a good performance is observed.

研究の動機と目的

• テンソル積構造を満たさないトリムド表面における、効率的かつ正確な積分を実現する課題に対処すること。
• 未トリムドパッチを対象として開発された既存の1次元パッチ単位の数値積分則を、複雑な境界を持つ2次元トリムド表面に拡張すること。
• トリムドシェル構造の積分に必要な数値積分点の数を、精度を損なわずに削減すること。
• CADモデルの穴、切り欠き、交差部を、計算効率を保ちつつIGAワークフローにシームレスに統合できるようにすること。

提案手法

• 1次元一般化ガウス数値積分則を2次元に拡張し、最適数値積分点の概念をトリムド表面パッチに応用する。
• トリムドNURBS表面の実際のノットベクトルおよび幾何パラメータを用いて、パッチ単位で数値積分点と重みを決定する。
• 標準的なガウス数値積分がトリムド要素で非効率になるのを避けるために、トリムドドメインの境界を尊重するテンソル積拡張戦略を採用する。
• 任意の多項式次数およびノット分布に対して安定かつ収束するよう、再帰的アルゴリズムを用いて数値積分点と重みを計算する。
• 幾何的線形および非線形シェル問題のガラーキンに基づくIsogeometric式に本手法を実装する。
• 収束解析および標準的トリミング手法や完全ガウス数値積分との比較を通じて、手法の妥当性をベンチマーク例で検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Isogeometric Analysisにおける未トリムドNURBS表面からトリムドNURBS表面へのパッチ単位の数値積分則の拡張は、どのように実現できるか？
• RQ2 トリムド表面パッチにおける正確な積分に必要な最適な数値積分点の数は何か？ また、その点を効率的に計算する方法は？
• RQ3 本手法は、シェル解析において標準的ガウス数値積分および従来のトリミング技術と比較して、精度および効率面でどのように優れているか？
• RQ4 幾何的非線形問題におけるトリムドシェルを含む解析において、本手法は最適な収束率を維持し、計算コストを低減できるか？
• RQ5 IGAにおける並列処理の効率性および行列の対称性に、数値積分点の配置の変化が与える影響は何か？

主な発見

• 提案されたパッチ単位の数値積分則は、特にトリムド領域において、標準的ガウス数値積分に比べて数値積分点を顕著に削減した。
• パンチングプレートのベンチマークにおいて、本手法は板中央での変位として-0.002401を達成し、高精度な基準解と一致した。
• 曲がったシェルの例では、点Aにおける変位が-0.3610789となった。非線形解析における頑健性を示した。
• 本手法はすべてのベンチマークで最適な収束率を維持した。線形および非線形問題の両方において信頼性が確認された。
• 特に非線形解析において積分が繰り返し実行されるため、標準的トリミング手順に比べて計算時間が顕著に短縮された。
• 本手法により、複雑なトリムド幾何形状においてもパッチ単位の数値積分の利点を保ちながら、CAD統合シェル解析における効率的積分が可能になった。