[論文レビュー] Path-by-path uniqueness of infinite-dimensional stochastic differential equations

Lukas Wresch|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2017

Stochastic processes and financial applications被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、可分ヒルバート空間における無限次元確率微分方程式（SDE）の弱解について、経路ごとの一意性を確立する。これはA.M. Davieの有限次元結果を拡張したものである。強い減衰条件（特にスペクトル成分における指数的減衰）が満たされれば、f が可測かつ有界である場合でも、円周型ブラウン運動のほとんどすべての標本路に対して、経路ごとの一意解が存在することが示されている。

ABSTRACT

Consider the stochastic differential equation $\mathrm dX_t = -A X_t \,\mathrm dt + f(t, X_t) \,\mathrm dt + \mathrm dB_t$ in a (possibly infinite-dimensional) separable Hilbert space, where $B$ is a cylindrical Brownian motion and $f$ is a just measurable, bounded function. If the components of $f$ decay to 0 in a faster than exponential way we establish path-by-path uniqueness for mild solutions of this stochastic differential equation. This extends A. M. Davie's result from $\mathbb R^d$ to Hilbert space-valued stochastic differential equations.

研究の動機と目的

• 可分ヒルバート空間における円周型ブラウン運動によって駆動される無限次元SDEの弱解について、経路ごとの一意性を確立すること。
• A.M. Davieの有限次元における経路ごとの一意性結果を無限次元設定に拡張すること。
• 漂移項が可測かつ有界である場合でも、ノイズの各標本路に対してほとんど確実に一意性が成り立つことを証明すること。
• 経路ごとの一意性を保証するための漂移成分のスペクトル基底における減衰率を同定すること。
• これらの減衰条件のもとで、解が経路ごとに一意的であり、Yamada–Watanabeによる強い解の存在が保証されることを示すこと。

提案手法

• 正で自己随伴かつトレースクラスな作用素 A が生成する半群を用いて、SDEを弱形式で定式化する。
• ノイズを円周型ブラウン運動としてモデル化し、ストリート的積分をオーナイズ・ウーレンプ過程 ZA(ω) を用いて経路ごとに表現する。
• 各 ω ∈ Ω に対して積分方程式 (IE)ω を定義し、確率積分を決定論的摂動として扱う。
• A の固有基底に関する f のスペクトル分解を用い、以下の減衰条件を課す：‖f(n)‖∞ ≤ exp(−e^{nγ})（γ > 6）。
• 二進分割とホルダー型推定に基づく新しい反復推定技術を用いて、解の差の成長を制御する。
• しきい値の列 (βj) と再帰的不等式を用いたブートストラップ論法により、漂移条件のもとで任意の解が恒等的にゼロでなければならないことを示し、一意性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限次元設定を超えて、可測な漂移項をもつ無限次元SDEについて、経路ごとの一意性を確立できるか？
• RQ2 ヒルバート空間における経路ごとの一意性を保証するための漂移 f のスペクトル成分に必要な減衰条件は何か？
• RQ3 与えられた仮定のもとで、経路ごとの一意性は経路的一意性および強い解の存在を意味するか？
• RQ4 スペクトル基底における f(n) の指数的減衰率は、解の正則性および一意性にどのように影響するか？
• RQ5 有限次元SDEに用いられる手法を、滑らかでない漂移項をもつ無限次元ヒルバート空間に適応可能か？

主な発見

• 可分ヒルバート空間 H におけるSDE dXt = −AXt dt + f(t, Xt) dt + dBt の弱解について、経路ごとの一意性が成り立つ。
• f のスペクトル成分が |f(n)(t,x)| ≤ exp(−e^{nγ})（ある γ > 6）を満たすと仮定すれば、解は経路ごとに一意的である。
• P-ほとんど確実に、Ω のほとんどすべての ω ∈ Ω に対して、(IE)ω を満たす連続関数 x: [0,T] → H がちょうど一つ存在する。
• この結果は経路的一意性を意味し、Yamada–Watanabe定理より強い解の存在を示唆する。
• 証明は、二進分割における再帰的推定に依拠しており、漂移条件のもとでゼロから出発する任意の解が恒等的にゼロのまま保たれることを示している。
• f における減衰条件は、しきい値 βj を用いたブートストラップ論法により、二進区間における解の変動を制御可能であるため、鋭いものである。