[論文レビュー] Restricted Markov uniqueness for the stochastic quantization of $P(Φ)_2$ and its applications

Michael Röckner, Rongchan Zhu+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 33被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、[DD03]および[MW15]の解とディリクレ型形式のアプローチによる解を結びつけることにより、$mathbb{T}^2$および$mathbb{R}^2$ 上の$P(\Phi)_2$モデルの確率的量子化における制限付きマーカフ独自性および確率的弱解の一意性を確立する。$X - Z$がシフトされた方程式を満たすことを証明し、$X_0 = Y + Z$において$Y$がシフト方程式を満たすとき、無限体積$P(\Phi)_2$測度が不変であることを示し、無限次元確率的量子化における長年の未解決の一意性問題を解決する。

ABSTRACT

In this paper we obtain restricted Markov uniqueness of the generator and uniqueness of probabilistically weak solutions for the stochastic quantization problem in both the finite and infinite volume case by clarifying the precise relation between the solutions to the stochastic quantization problem obtained by the Dirichlet form approach and those obtained in [DD03] and in [MW15]. We prove that the solution $X-Z$, where $X$ is obtained by the Dirichlet form approach in [AR91] and $Z$ is the corresponding O-U process, satisfies the corresponding shifted equation (see (1.4) below). Moreover, we obtain that the infinite volume $P(Φ)_2$ quantum field is an invariant measure for the $X_0=Y+Z$, where $Y$ is the unique solution to the shifted equation.

研究の動機と目的

• 無限次元における$P(\Phi)_2$の確率的量子化の生成子について、制限付きマーカフ独自性が成り立つかどうかを解明すること。
• 有限および無限体積設定下で、方程式 (1.1) の確率的弱解の一意性を確立すること。
• ディリクレ型形式のアプローチで得られる解と、[DD03]および[MW15]の解との関係を明確にすること。
• 無限体積$P(\Phi)_2$測度が、$Y$がシフト方程式を満たすとき、$X_0 = Y + Z$の過程に対して不変測度であることを証明すること。

提案手法

• 有限および無限体積設定下で、方程式 (1.1) の弱解をディリクレ型形式のアプローチにより構成する。
• ディリクレ型形式手法で得られた解と、[DD03]および[MW15]の解との関係を分析し、特に$X - Z$のシフト方程式に注目する。
• 非線形項のパスワイズ連続性および可積分性を確立するために、Besov型空間$\hat{\mathcal{B}}^{\alpha,\sigma}_{p,p}$における正則性推定を適用する。
• 無限次元設定における制限付きマーカフ独自性を定義するために、$\mathcal{E}$-例外的集合および準正則性の概念を用いる。
• 解の一意性と関連するディリクレ型形式の一意性を結びつけるために、マルティングル問題の枠組みを用いる。
• [MW15]におけるシフト方程式の解のパスワイズ一意性および正則性に関する結果を応用し、グローバルなパス性質および不変性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $P(\Phi)_2$の確率的量子化の生成子は、無限次元設定において制限付きマーカフ独自性を有するか？
• RQ2 方程式 (1.1) の確率的弱解は、$\nu_0$-同等性の意味で一意的か？
• RQ3 ディリクレ型形式手法で得られる解と、[DD03]および[MW15]の解との間の正確な関係は何か？
• RQ4 無限体積$P(\Phi)_2$測度は、$Y$がシフト方程式を満たすとき、$X_0 = Y + Z$の過程に対して不変測度か？
• RQ5 $X - Z$がシフト方程式を満たすことを示せるか？また、その正則性は何か？

主な発見

• 本稿は、有限および無限体積設定下で、$P(\Phi)_2$の確率的量子化の生成子について制限付きマーカフ独自性を確立する。
• 両設定下で、方程式 (1.1) に対して$\nu_0$-同等性の意味で唯一の確率的弱解が存在することを証明する。
• 解$X - Z$は、$\hat{\mathcal{B}}^{\alpha,\sigma}_{3p_0,\infty}$および$\hat{\mathcal{B}}^{\beta,\sigma}_{p,p}$空間において、パスワイズ連続性の意味でシフト方程式 (1.4) を満たす。
• 無限体積$P(\Phi)_2$測度$\nu_0$は、$Y$がシフト方程式の唯一の解であるとき、$X_0 = Y + Z$の過程に対して不変測度である。
• 解$X$は確率的に1で時間に関して連続であり、値は$\hat{\mathcal{B}}^{\alpha,\sigma}_{3p_0,\infty}$にとる。また、$X - Z$は$0 < \beta < \frac{1}{2}$および$p > 1$に対して$\hat{\mathcal{B}}^{\beta,\sigma}_{p,p}$に連続である。
• 過程$X_0 = Y + Z$の遷移半群に付随するディリクレ型形式は、ディリクレ型形式のアプローチで得られたものと一致し、異なる手法間の整合性が確認された。