[論文レビュー] Path-dependent Hamilton-Jacobi-Bellman equation: Uniqueness of Crandall-Lions viscosity solutions

Andrea Cosso, Fausto Gozzi+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2021

Stochastic processes and financial applications参考文献 37被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非マルコフ型の運動を示す確率的最適制御問題に現れる経路に依存するハミルトン・ジャコビ・ベルルマン（HJB）方程式に対して、Crandall-Lionsの可視解の一意性を確立する。有限次元への投影による近似と放物型PDEの正則性結果を活用することで、著者らは値関数が一意な可視解であることを証明し、一般条件下における経路に依存するPDE理論における重要な空白を埋めることに成功した。

ABSTRACT

We formulate a path-dependent stochastic optimal control problem under general conditions, for which weprove rigorously the dynamic programming principle and that the value function is the unique Crandall-Lions viscosity solution of the corresponding Hamilton-Jacobi-Bellman equation. Compared to the literature, the proof of our core result, that is the comparison theorem, is based on the fact that the valuefunction is bigger than any viscosity subsolution and smaller than any viscosity supersolution. It alsorelies on the approximation of the value function in terms of functions defined on finite-dimensionalspaces as well as on regularity results for parabolic partial differential equations.

研究の動機と目的

• 無限次元制御問題における経路に依存するHJB方程式に対して、Crandall-Lionsの可視解の一意性を確立すること。
• 一般条件下で、経路に依存する確率的最適制御問題における動的計画法の原則を厳密に証明すること。
• 文献におけるギャップを埋めるために、経路に依存する設定における可視解の比較定理を提供すること。
• 値関数がすべての下位解を支配し、すべての上位解に支配されることを示す枠組みを構築すること。
• 関数的イト計算と円筒近似を用いて、可視解理論を経路に依存するPDEへと拡張すること。

提案手法

• 非予見的係数と段階的に可測な制御を持つ経路に依存する確率的最適制御問題を定式化する。
• 関数的イト微分法を用いて水平微分と垂直微分を定義し、経路に依存するHJB方程式の定式化を可能にする。
• 円筒近似を用いて、無限次元の値関数を正則化された経路的微分を介して有限次元空間へと射影する。
• 古典的放物型PDE理論と安定性結果を用いて、近似された値関数の正則性を確立する。
• 滑らかな変分原理と比較定理を用いて、値関数が任意の下位解と上位解の間にあることを示す。
• 近似次元を増加させる極限において、近似解が真の値関数に収束することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 経路に依存する確率的制御問題の値関数は、対応するHJB方程式の可視解として一意に特徴付けられるか？
• RQ2 経路に依存するPDEの文脈において、Crandall-Lionsの可視解に対して比較原理は成立するか？
• RQ3 有限次元PDEの解を用いて値関数を近似できるか、かつ可視解の性質が保たれるか？
• RQ4 関数的イト微分法における水平微分と垂直微分は、経路に依存するHJB方程式の解析をどのように支援するか？
• RQ5 経路に依存する係数を持つ非マルコフ型SDEに対して、動的計画法の原則はどのような条件下で成立するか？

主な発見

• 係数に関する一般仮定のもとで、値関数は経路に依存するHJB方程式の唯一のCrandall-Lions可視解である。
• 比較定理は、値関数が任意の可視下位解より大きく、任意の可視上位解より小さいことを示すことによって確立される。
• 値関数は、各々が滑らかな係数を持つ古典的PDEを満たす有限次元空間上に定義された関数の列によって近似される。
• 近似次元を増加させるに従い、近似解は点単位で真の値関数に収束する。
• 値関数は、時間と経路空間においてホルダー型の連続性条件を満たし、そのモジュラスは問題のリプシッツ定数と時間区間によって依存する。
• 円筒近似の極限においても可視解の性質が保たれ、安定性と一意性が保証される。