[論文レビュー] Viscosity Solutions to Second Order Path-Dependent Hamilton-Jacobi-Bellman Equations and Applications

Jianjun Zhou|arXiv (Cornell University)|May 10, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 31被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、経路に依存するストキャスティック・ディファレンシャル方程式（SDE）の最適制御問題に現れる2階の経路に依存するハミルトン・ジャコビ・ベルマン（PHJB）方程式に対して、粘性解の枠組みを導入する。最適制御問題の価値汎関数が、関連するPHJB方程式の唯一の粘性解であることが確立され、古典的解との一貫性および安定性が示され、後退型ストキャスティックHJB方程式への応用が行われる。

ABSTRACT

In this article, a notion of viscosity solutions is introduced for second order path-dependent Hamilton-Jacobi-Bellman (PHJB) equations associated with optimal control problems for path-dependent stochastic differential equations. We identify the value functional of optimal control problems as unique viscosity solution to the associated PHJB equations. We also show that our notion of viscosity solutions is consistent with the corresponding notion of classical solutions, and satisfies a stability property. Applications to backward stochastic Hamilton-Jacobi-Bellman equations are also given.

研究の動機と目的

• 経路に依存するSDEを用いた最適制御問題の文脈において、2階の経路に依存するハミルトン・ジャコビ・ベルマン（PHJB）方程式のための粘性解理論を開発すること。
• 最適制御問題の価値汎関数が、対応するPHJB方程式の唯一の粘性解であることを確立すること。
• 適切な条件下で、提案された粘性解の概念と古典的解との一貫性を示すこと。
• 経路に依存するデータの摂動に対して、粘性解枠組みの安定性を証明すること。
• 提案されたPHJB枠組みを用いて、後退型ストキャスティックHJB方程式へ理論を拡張すること。

提案手法

• 水平微分と垂直微分を用いた関数的イト計算の枠組みにおいて、2階の経路に依存するHJB方程式に特化した、新たな粘性解の概念を導入する。
• 価値汎関数を、経路に依存する係数を持つ後退型ストキャスティック微分方程式（BSDE）の解について、許容的制御の上での本質的上限として定義する。
• デュピルの関数的イトの公式を適用して、価値汎関数の動的計画法の原則を導出する。
• 適切なテスト関数の構築と、時間シフト過程を用いた摂動論的議論により、粘性解の比較原理を確立する。
• 停止時刻を用いた局所化技術と、時間正則化手順を用いて、生成子と状態過程の経路依存性を扱う。
• 動的計画法の原則と関数的イトの公式に基づく確率的表現論を用いて、価値汎関数が粘性下位解および上位解の性質を満たすことを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2階の経路に依存するハミルトン・ジャコビ・ベルマン方程式に対して、一貫性のある粘性解の概念を定義できるか？
• RQ2 経路に依存するSDEの最適制御問題の価値汎関数は、関連するPHJB方程式の唯一の粘性解か？
• RQ3 古典的解が存在する場合、提案された粘性解の概念はそれらと一致するか？
• RQ4 経路に依存するデータの摂動に対して、粘性解枠組みは安定か？
• RQ5 この理論は、後退型ストキャスティックHJB方程式へ拡張可能か？

主な発見

• 最適制御問題の価値汎関数が、関連する2階の経路に依存するHJB方程式の唯一の粘性解であることが証明された。
• 価値汎関数が十分に滑らかであれば、提案された粘性解の概念は古典的解と一貫する。
• 経路に依存するデータが$d_∞$距離で収束する場合、粘性解枠組みは安定性を満たす。
• 粘性解枠組みにおいて比較原理が成り立つため、解の一意性が保証される。
• 価値汎関数は、粘性の意味で動的計画法の原則を満たし、解と元の確率的制御問題を結びつける。
• 理論は後退型ストキャスティックHJB方程式へも成功裏に拡張され、枠組みの広範な適用可能性が示された。