[論文レビュー] Path integral quantization of Yang-Mills theory

Sami I. Muslih|ArXiv.org|Nov 14, 2000

Particle Accelerators and Free-Electron Lasers被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ハミルトニアン・ジャコビ偏微分方程式に基づく正準経路積分形式を用いて、ゲージ固定を必要としないヤン・ミルズ理論の経路積分的量子化を提示する。運動方程式の可積分性を整合性条件によって保証することで、ラグランジュ乗数、デルタ関数、ゲージ固定条件を導入することなく、正準位相空間変数上の経路積分を直接構成する。これはファデエフ＝ポポフの量子化に対する一貫性のある代替手法を提供する。

ABSTRACT

Path integral formulation based on the canonical method is discussed. Path integral for Yang-Mills theory is obtained by this procedure. It is shown that gauge fixing which is essential procedure to quantize singular systems by Faddeev's and Popov's method is not necessary if the canonical path integral formulation is used.

研究の動機と目的

• ゲージ固定手順に依存しないヤン・ミルズ理論の経路積分的量子化の開発。
• 正準経路積分形式が、第一級制約を有する特異系に対して自然に定義された経路積分をもたらすことを示すこと。
• 正準経路積分アプローチを用いる場合、標準的なファデエフ＝ポポフ法は不要であることを示すこと。
• 運動方程式の可積分性と正準変数上の一貫性のある経路積分の構成との間の直接的な関係を確立すること。

提案手法

• 制約付き系の正準構造から導かれるハミルトニアン・ジャコビ偏微分方程式（HJPDE）から出発する。
• 可積分性を保証するための条件 dH′α = 0 を用い、時間パラメータ t_α に依存する正準位相空間座標 q_a と p_a の存在を保証する。
• 全微分形式 dz = (−H_α + p_a ∂H′_α/∂p_a) dt_α を経由して、運動方程式から直接正準作用を導出する。
• ゲージ固定項を含めず、正準変数 A_i^a と π_i^a に対する関数積分として経路積分を構成する。
• Faddeev-Popov 量子化で一般的に生じる補助場、ラグランジュ乗数、行列式の曖昧性を回避する。
• H′_α と F_1^a の逐次変分による制約の閉じることを確認することで、可積分性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正準経路積分形式を用いることで、ゲージ固定を伴わずにヤン・ミルズ理論を一貫して量子化できるか？
• RQ2 正準経路積分法は、第一級制約を有するゲージ理論に対してユニタリで定義された量子論を生成するか？
• RQ3 ハミルトニアン・ジャコビ系の可積分性と、経路積分におけるゲージ固定の不在との関係は何か？
• RQ4 正準枠組みにおいて運動方程式から直接導かれる作用の構造はいかなるものか？

主な発見

• ゲージ固定を伴わずに、経路積分が ∫∏DA_i^a Dπ_i^a exp[i∫(−¼F_ij^aF_a^ij + ½π_a^iπ_i^a + D_iπ_a^i A_0^a − ∂_i(π_a^i A_0^a) + π_a^i ∂_0 A_i^a) d⁴x] として直接導出される。
• HJPDE 系の可積分性を保証することで、Faddeev-Popov のゴースト、行列式のヤコビアン、補助的制約の必要性を回避する。
• 正準変数 A_i^a と π_i^a は、全微分方程式の整合的積分により、時間パラメータ t と A_0^a に依存する関数として得られる。
• F_1^a = −D_iπ_a^i を制約として導入した後、dH′_0 = 0 および dH′_a = 0 の条件が満たされる。
• 得られる経路積分は明示的に正則であり、Faddeev-Popov の標準的手法とは異なり、全正準位相空間上で定義される。
• 正準経路積分形式は、ゲージ固定の必要性を回避しながらユニタリティと計量の正定値性を保ちつつ、従来の量子化手法に対する一貫性のある代替手法を提供する。