[論文レビュー] Path integrals for classical-quantum dynamics

Jonathan Oppenheim, Zachary Weller-Davies|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2023

Quantum Mechanics and Applications被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、物理的整合性に不可欠な完全正則性およびトレース保存性を保証する、古典量子（CQ）力学の一般化された経路積分形式を導出する。ファインマンの量子経路積分と確率的経路積分を一般化することで、古典量子作用を用いたハイブリッド経路積分を構築し、特にハミルトニアンが運動量に関して二次のとき、共変なCQ力学の形式を実現する。この場合、配置空間における経路積分が得られ、CPTPマスター方程式への写像が可能になる。

ABSTRACT

Consistent dynamics which couples classical and quantum degrees of freedom exists. This dynamics is linear in the hybrid state, completely positive and trace preserving. Starting from completely positive classical-quantum master equations, we derive a general path integral representation for such dynamics in terms of a classical-quantum action, which includes the necessary and sufficient conditions for complete positivity and trace preservation. The path integral we study is a generalization of the Feynman path integral for quantum systems, and the stochastic path integral used to study classical stochastic processes, allowing for interaction between the classical and quantum systems. When the classical-quantum Hamiltonian is at most quadratic in the momenta we are able to derive a configuration space path integral, providing a map between master equations and covariant classical-quantum path integrals.

研究の動機と目的

• 物理的力学に必要な完全正則性およびトレース保存性（CPTP）条件を尊重する、古典量子系の整合的経路積分形式の構築を目的とする。
• 量子系のファインマン経路積分と古典的過程の確率的経路積分を統合し、CQ力学のための単一のハイブリッド形式を確立することを目的とする。
• CPTPマスター方程式と共変な古典量子経路積分との直接的対応関係を確立することを目的とし、特に運動量に関して二次のハミルトニアンの場合に注目する。
• 時空およびゲージ対称性を保つ必要がある量子制御、有効場理論、半古典的重力に、経路積分技法を適用可能にする。
• 非マークフ・および制約付きCQ力学、重力の研究を可能にする、明示的にCPTPである経路積分的手法の枠組みを提供することを目的とする。

提案手法

• オッペンハイマー（2018）およびオッペンハイマーら（2022b）で導入された、CPTP古典量子マスター方程式の最も一般な形から、古典量子経路積分を導出する。
• 量子ファインマン作用と古典的オネーザー＝マッハループ作用を一般化したハイブリッド作用関数を導入し、古典的および量子自由度間の相互作用項を含む。
• 作用における拡散カーネルの構造を通じて、完全正則性およびトレース保存性の必要十分条件を経路積分に直接課す。
• 運動量に関して二次のハミルトニアンを持つ系では、配置空間における経路積分を導出し、マスター方程式と経路積分との直接的かつ共変な対応関係を確立する。
• 経路積分を用いて半古典的重力を分析し、CQ相互作用項が量子重ね合わせのデコherenceを質量固有状態に強制し、古典的重力場と相関づけることを示す。
• 経路積分の制約および対称性構造を分析し、CQ進化が四次運動量依存作用に帰着することを示し、一般相対性理論の標準的制約構造を根本的に変える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全正則性およびトレース保存性を保ちつつ、古典量子力学のための整合的経路積分形式をどのように構築できるか？
• RQ2 量子および古典的確率的経路積分を統合するハイブリッド枠組みにおいて、古典量子作用の一般形は何か？
• RQ3 どのような条件下で経路積分が配置空間形式に簡略化され、マスター方程式形式とどのように関係するか？
• RQ4 CQ経路積分は、標準的半古典的重力理論が抱える病理を避けるために、どのように量子重ね合わせのデコherenceを、古典的重力場と相関づけて強制するか？
• RQ5 経路積分形式を非マークフ的または微分同相不変性を破る理論に拡張可能か？その有効場理論への影響は何か？

主な発見

• 本稿は、作用関数の拡散カーネル構造に完全正則性およびトレース保存性の条件を直接埋め込んだ、明示的にCPTPである古典量子力学の一般経路積分表現を導出する。
• 運動量に関して二次のハミルトニアンを持つ古典量子系では、経路積分が配置空間形式に簡略化され、CPTPマスター方程式と経路積分との直接的かつ共変な対応関係が確立される。
• 経路積分形式は、量子重ね合わせのデコherenceを質量固有状態に正しく強制し、古典的経路が重力場源と相関づけられることを示し、標準的半古典的アインシュタイン方程式の失敗を回避する。
• 経路積分における重力作用にはCQ相互作用項が含まれており、量子状態のデコherenceと古典的計量の進化が相関づけられ、標準的な $ G_{\mu\nu} = 8\pi G \langle T_{\mu\nu} \rangle $ 方程式よりも健全な半古典的力学をもたらす。
• 経路積分形式は、CQ力学が四次運動量依存作用を生じることを明らかにし、一般相対性理論の制約構造を根本的に変える。これにより、運動量表現への移行が複雑化する。
• この枠組みにより、非マークフ的CQ力学およびフォリエーション保存型微分同相不変性の研究が可能となり、対称性破壊を制御可能な有効量子重力理論への道筋を示唆する。