[論文レビュー] Path properties and regularity of affine processes on general state spaces

Christa Cuchiero, Josef Teichmann|RePEc: Research Papers in Economics|Jul 8, 2011

Stochastic processes and financial applications被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、一般の状態空間上のアフィン過程に対して、マルコフ過程の半マルティンゲール理論を用いて、càdlàg版の正則性および存在性を確立する。長年の未解決問題を解消し、確率連続性およびアフィンFourier-Laplace性が、特性指数関数の微分可能性を示唆することを証明することで、多面体的または標準的状態空間の仮定に依存せずに正則性を確認する。

ABSTRACT

We provide a new proof for regularity of affine processes on general state spaces by methods from the theory of Markovian semimartingales. On the way to this result we also show that the definition of an affine process, namely as stochastically continuous time-homogeneous Markov process with exponential affine Fourier-Laplace transform, already implies the existence of a càdlàg version. This was one of the last open issues in the fundaments of affine processes.

研究の動機と目的

• 一般の状態空間上のアフィン過程がcàdlàg版を有するかどうかという未解決問題を解消すること。
• アフィン性が、確率連続性および指数的アフィンFourier-Laplace変換によって定義されるが、標準的または多面体的状態空間の仮定をせず、正則性を示すこと。
• 先行する標準的状態空間に関する分類結果に依存しない、マコフ半マルティンゲール理論を用いた正則性の新しい証明を提供すること。
• アフィン過程の半マルティンゲール特性が状態変数に関してアフィン的であることを示し、特性指数関数に対して一般化されたリッカティ方程式を導出すること。

提案手法

• アフィン過程の無限小生成作用素および半マルティンゲール特性を分析するために、マコフ半マルティンゲール理論を用いる。
• 半マルティンゲール特性にLévy-Khintchine表現を適用し、ドリフト、拡散、ジャンプ成分がすべて状態変数に関してアフィン的であることを示す。
• 時間ゼロにおける半群方程式を微分することで、特性指数関数Φおよびψの一般化されたリッカティ方程式を導出する。
• 半マルティンゲール特性の構造とLaplace変換の連続性を用いて、Φおよびψのゼロにおける連続性および微分可能性を確立する。
• 半マルティンゲール特性の正則性および状態空間の構造から、càdlàg版の存在を示す。
• Lévy-Khintchine表現の一意性を用いて、特性が状態変数に関してアフィン的であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アフィン性が、確率連続性および指数的アフィンFourier-Laplace変換によって定義されるが、一般の状態空間上のアフィン過程に対してcàdlàg版の存在を示唆するか？
• RQ2 標準的または多面体的状態空間の仮定をせず、特性指数関数Φおよびψの微分可能性（正則性）を示すことができるか？
• RQ3 非凸的または非多面体的状態空間（例：ランク制約付き正定値行列）上でも、アフィン過程の半マルティンゲール特性が状態変数に関してアフィン的であるか？
• RQ4 先行する分類結果に依存せず、半マルティンゲール構造から直接一般化されたリッカティ方程式をΦおよびψに対して導出できるか？
• RQ5 半マルティンゲール特性のアフィン構造が、コンパクトまたは離散的状態空間上でのアフィン過程の構成にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 一般の状態空間上でのアフィン性は、càdlàg版の存在を示し、アフィン過程理論の基礎において長年の未解決問題を解決する。
• 正則性（時間に関する特性指数関数Φおよびψの微分可能性）は、確率連続性およびアフィンFourier-Laplace性から直接導かれる。
• 半マルティンゲール特性（ドリフト、拡散、ジャンプ成分）は、状態変数に関してアフィン的であり、Φおよびψの一般化されたリッカティ方程式を導く。
• 一般化されたリッカティ方程式は、Φおよびψの連続性とLévy-Khintchine表現の構造を用いて、時間ゼロにおける半群方程式の微分から導出される。
• 結果は、非凸集合（例：ランク制約付き正定値行列）やコンパクト・離散的状態空間を含む、任意の状態空間D ⊆ Vに対して成立する。
• 証明は、先行する標準的状態空間に関する分類結果に依存しないため、S_d^+や放物的境界によって定義される集合などの非多面体的状態空間にも適用可能である。