[論文レビュー] Pathwise asymptotics for Volterra type stochastic volatility models

M. Cellupica, Barbara Pacchiarotti|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ガウス型ボルテラ過程によって駆動されるボルテラ型確率ボラティリティモデルにおけるログプライス過程の経路ごとの大偏差原理を確立する。チャガンティの定理を用いて、同時分布および周辺分布のための大偏差理論を適用し、速度 $\varepsilon_n^{-2}$ の経路大偏差原理を導出する。これにより、従来の結果を無限次元設定に一般化し、確率的ボラティリティとドリフト項の相関を許容する。

ABSTRACT

We study stochastic volatility models in which the volatility process is a positive continuous function of a continuous Volterra stochastic process. We state some pathwise large deviation principles for the scaled log-price.

研究の動機と目的

• 一般のガウス型ボルテラ過程を用いた無限次元ボルテラ型確率ボラティリティモデルへの大偏差原理の拡張。
• ドリフトおよびボラティリティ関数に対する最小限の正則性仮定の下で、ログプライス過程の小ノイズ経路大偏差原理の確立。
• フォルデ、チャン、ギュリサシビリの先行研究を、相関のある確率的ボラティリティおよび非ゼロのドリフトを持つモデルへ一般化。
• フリードリン＝ヴェントツェル理論に依存しない、チャガンティの定理に基づく新たな解析的枠組みの提供。
• 共分散構造の分析を通じて、分数マーカー過程（例：分数オーナイズァン・ウーレンベック過程）への適用可能性の提示。

提案手法

• ドリフト $\mu(\hat{B}_t)$ およびボラティリティ $\sigma(\hat{B}_t)$ を用いた確率微分方程式により資産価格ダイナミクスを定式化し、$\hat{B}_t$ をボルテラ型ガウス過程とする。
• ボラティリティおよびボルテラ過程に小ノイズスケーリング $\varepsilon_n$ を導入し、スケーリングされたログプライス $Z_t^n = \log S_t^n$ を定義する。
• チャガンティの定理（同時分布および周辺分布の大偏差）を適用し、スケーリングされたログプライス過程のレート関数を導出する。
• 近似族 $\hat{B}^n$ の指数的タイトネスを確立することで、大偏差原理の収束を保証する。
• 2段階の近似を用いる：まず、$\hat{B}^n$ の区分定数近似を用いて $Z^{n,m}$ を定義し、次に $Z^n$ と指数的に同等であることを証明する。
• 明示的な良いレート関数 $I_Z(x)$ を導出する。この関数は $H^1_0[0,T]$ ノルムと、パスの微分およびボラティリティ構造に依存する二次変動項を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のガウス型ボルテラ過程を用いたボルテラ型確率ボラティリティモデルにおけるログプライス過程に対して、経路大偏差原理を確立できるか？
• RQ2 非ゼロのドリフト項および相関のある確率的ボラティリティの導入が、大偏差レート関数に与える影響は何か？
• RQ3 チャガンティの定理は、無限次元設定における大偏差を導出するためのフリードリン＝ヴェントツェル理論の代替として有効に使えるか？
• RQ4 核 $K(t,s)$ および関数 $\mu$, $\sigma$ にどのような条件を課すと、大偏差原理の有効性が保証されるか？
• RQ5 分数マーカー過程（例：分数オーナイズァン・ウーレンベック過程）は、この枠組みにどのように適合し、その漸近的挙動はいかなるものか？

主な発見

• 連続な $\mu$ および正の連続な $\sigma$ の下で、スケーリングされたログプライス過程 $Z_t^n$ に対して速度 $\varepsilon_n^{-2}$ の経路大偏差原理が確立される。
• 良いレート関数は、$x \in H_0^1[0,T]$ に対して $I_Z(x) = \inf_{f \in H_0^1[0,T]} \left[ \frac{1}{2}\|f\|_{H_0^1}^2 + \frac{1}{2}\int_0^T \left( \frac{\dot{x}(t) - \mu(\hat{f}(t)) - \rho \dot{\Psi}(f,\hat{f})(t)}{\bar{\rho} \sigma(\hat{f}(t))} \right)^2 dt \right] $ で与えられ、それ以外の場合は $+\infty$ である。
• フォルデとチャン、ギュリサシビリの先行研究を、より弱い正則性仮定の下で、相関のあるボラティリティおよびドリフトを持つモデルへ一般化した。
• ボルテラ過程 $\hat{B}^n$ の指数的タイトネスにより、無限次元設定においても大偏差原理の有効性が保証される。
• 分数オーナイズァン・ウーレンベック過程に対しては、大偏差速度は $\varepsilon_n^{-2H}$ であり、レート関数は同じ構造を保ち、$\hat{f}(t) = \int_0^t K_H(t,s) \dot{f}(s) ds$ である。
• フリードリン＝ヴェントツェル理論に依存せず、チャガンティの定理に依拠することで、同時および周辺分布のためのレート関数のより直接的な導出が可能になる。