[論文レビュー] Pathwise stochastic integrals for model free finance

Nicolas Perkowski, David J. Pr omel|RePEc: Research Papers in Economics|Nov 24, 2013

Stochastic processes and financial applications被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、確率的仮定を一切行わず、連続時間金融数学における2つのモデルフリーな確率積分フレームワークを導入する。1つ目のフレームワークは、Vovkの外部測度（最小スーパーへッジング価格）によって誘導される位相を用いる。これにより、右連続で左極限をもつ適応過程への伊藤積分の連続的拡張が可能になる。2つ目のフレームワークは、制御された粗いパス理論を活用し、典型的な価格経路が自然に伊藤粗いパスを備え、粗いパス積分が非予測可能なリーマン和の極限として現れることを証明する。これによりバナッハ空間の構造を保ちつつ、金融的直感を損なわない。

ABSTRACT

We present two different approaches to stochastic integration in frictionless model free financial mathematics. The first one is in the spirit of Itô's integral and based on a certain topology which is induced by the outer measure corresponding to the minimal superhedging price. The second one is based on the controlled rough path integral. We prove that every "typical price path" has a naturally associated Itô rough path, and justify the application of the controlled rough path integral in finance by showing that it is the limit of non-anticipating Riemann sums, a new result in itself. Compared to the first approach, rough paths have the disadvantage of severely restricting the space of integrands, but the advantage of being a Banach space theory. Both approaches are based entirely on financial arguments and do not require any probabilistic structure.

研究の動機と目的

• 摩擦なし、モデルフリーな金融数学における厳密な確率積分理論を構築すること。確率的構造や半マルティンゲール構造の仮定を一切行わないこと。
• 従来の手法の制限（有界 variation や二次変動の制限）を克服し、より一般で連続的な積分フレームワークを構築すること。
• 粗いパス理論のバナッハ空間構造と非予測的取引戦略の金融的解釈性を調和させること。
• 非予測可能なリーマン和の極限として制御された粗いパス積分が導かれるのを証明することで、金融分野における制御された粗いパス積分の使用を正当化すること。

提案手法

• Vovkのゲーム理論的外部測度（経路ごとの最小スーパーへッジング価格として定義）を用い、連続経路の空間に位相を誘導する。
• この位相の下でステップ関数の積分の連続的拡張としてモデルフリーな伊藤積分を定義し、右連続で左極限をもつ適応過程へ適用可能である。
• Vovkの意味での典型的な価格経路（typical price path）が自然に伊藤粗いパスを備えることを確立し、これによりモデルフリーな金融における制御された粗いパス理論の適用が可能になる。
• 弱い正則性条件の下で、制御された粗いパス積分が非予測可能なリーマン和の極限として現れることを証明し、補正項を避ける。
• Davieの基準を用いて、ホルダー正則性および面積正則性条件の下で、標準的なリーマン和が粗いパス積分に収束することを示す。
• 粗いパス積分が、有界 variation、ヤング、フォルマーの経路的伊藤積分といった従来の枠組みを一般化・統合することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 価格経路に確率的構造や半マルティンゲール構造を仮定せず、連続的でモデルフリーな確率積分を構築できるか？
• RQ2 通常は補正付きリーマン和で定義される制御された粗いパス積分は、非予測可能なリーマン和の極限として金融的解釈をもつのか？
• RQ3 モデルフリーな伊藤積分は、金融的位相の下で右連続で左極限をもつ適応被積分関数へと連続的に拡張可能か？
• RQ4 フォルマーの経路的伊藤積分は、モデルフリーな文脈において制御された粗いパス積分の特殊ケースとして成立するか？
• RQ5 補正なしに非予測可能なリーマン和の収束を示すことで、粗いパス積分を金融分野で厳密に正当化できるか？

主な発見

• モデルフリーな伊藤積分は、Vovkの外部測度によって誘導される位相に関して連続であり、右連続で左極限をもつ適応被積分関数へと拡張可能である。
• Vovkの意味での典型的な価格経路は、自然に伊藤粗いパスを備え、これによりモデルフリーな金融における制御された粗いパス理論の適用が可能になる。
• 弱い正則性条件の下で、制御された粗いパス積分が非予測可能なリーマン和の極限として現れることを示し、その使用に対する根本的な哲学的懸念を解消した。
• 粗いパス積分は、有界 variation、ヤング、フォルマーの経路的伊藤積分といった従来の手法を一般化・統合する。
• Davieの基準により、ホルダー正則性および面積正則性条件の下で、粗いパス積分が標準的なリーマン和として収束することが示され、補正なしに使用可能であることが裏付けられた。
• 本稿は、フォルマーの経路的伊藤積分がモデルフリーな文脈において制御された粗いパス積分の特殊ケースであることを、初めて厳密に証明した。