[論文レビュー] Pattern avoidance in matchings and partitions

Jonathan Bloom, Sergi Elizalde|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2012

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、3-交差と3-ネストを一般化して任意の3アーキテクチャ配置へと拡張することにより、マッチングおよび集合分割におけるパターン回避を研究する。ローカル配置とフェルファーブラード上のローカル配置を用い、成長図を用いて、312-回避マッチングおよび分割の代数的生成関数を導出する。これは、321-回避ケースで知られているD-有限生成関数とは対照的である。主な貢献として、321と213の形状-ウィルフ同値性を示す簡略化された双対写像が得られ、3パターンのペアの完全な分類がなされ、大多数のケースで列挙が行われる。

ABSTRACT

Extending the notion of pattern avoidance in permutations, we study matchings and set partitions whose arc diagram representation avoids a given configuration of three arcs. These configurations, which generalize 3-crossings and 3-nestings, have an interpretation, in the case of matchings, in terms of patterns in full rook placements on Ferrers boards. We enumerate 312-avoiding matchings and partitions, obtaining algebraic generating functions, in contrast with the known D-finite generating functions for the 321-avoiding (i.e., 3-noncrossing) case. Our approach also provides a more direct proof of a formula of Bóna for the number of 1342-avoiding permutations. Additionally, we give a bijection proving the shape-Wilf-equivalence of the patterns 321 and 213 which greatly simplifies existing proofs by Backelin--West--Xin and Jel\'ınek, and provides an extension of work of Gouyou-Beauchamps for matchings with fixed points. Finally, we classify pairs of patterns of length 3 according to shape-Wilf-equivalence, and enumerate matchings and partitions avoiding a pair in most of the resulting equivalence classes.

研究の動機と目的

• マッチングおよび集合分割におけるパターン回避理論を、3アーキの図式配置に一般化して置換パターンから拡張すること。
• マッチングおよび分割におけるすべての3パターンペアを形状-ウィルフ同値性の観点から分類すること。
• 312-回避マッチングおよび分割の列挙を行い、321-回避ケースのD-有限生成関数とは対照的に、その生成関数が代数的であることを示すこと。
• Bónaの1342-回避置換に関する公式の直接的で双対写像による証明を提供すること。
• マッチングおよび分割における321と213パターンの形状-ウィルフ同値性を確立し、Gouyou-Beauchampsの研究を一般化すること。

提案手法

• マッチングおよび分割をアーキ図として表現し、禁止される3アーキ構成によるパターン回避を定義する。
• マッチングをフェルファーブラード上のローカル配置としてモデル化し、Fominの成長図構成を用いてパターンと格子路の関係を結ぶ。
• 213-回避マッチングを列挙するための格子路対の集合 $\mathcal{A}^2_n$ を導入し、321-回避ローカル配置への双対写像を確立する。
• パスの高さと縦方向オフセットの統計を用いて、生成関数 $G(t,u,z)$ を定義し、関数方程式を導出する。
• 再帰的パス拡張ルールを用いて $G(t,u,z)$ の関数方程式を導出し、これを簡略化して $\mathcal{A}^2_n$ の生成関数を得る。
• カーネル法および関数方程式技法を用いて生成関数を解き、代数的性質を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 312-回避マッチングおよび分割の生成関数は何か？ また、321-回避ケースのD-有限生成関数とはどのように異なるか？
• RQ2 マッチングおよび分割における321と213パターンの形状-ウィルフ同値性に対して、直接的で双対写像による証明は可能か？
• RQ3 2つの3パターンを回避するマッチングおよび分割の列挙は、どのように分類可能か？
• RQ4 マッチングにおけるパターン回避と、特定のパス制約を伴うフェルファーブラード上のローカル配置との間にはどのような関係があるか？
• RQ5 3非交差分割に対して用いられた関数方程式アプローチは、マッチングにおける一般の3パターン回避に適応可能か？

主な発見

• 312-回避マッチングおよび分割の生成関数は代数的である。これは、321-回避ケースのD-有限生成関数とは対照的である。
• 新しい双対写像により、マッチングにおける321と213パターンの形状-ウィルフ同値性が証明され、Backelin–West–Xin や Jelínek の先行研究よりも簡略化された証明が得られた。
• 213-回避マッチングの個数は、あるクラスの格子路対 $\mathcal{A}^2_n$ と等数的である。その生成関数は関数方程式を用いて導出された。
• 生成関数 $G(t,u,z)$ の関数方程式は再帰的パス拡張ルールから導出され、閉形式解が得られ、代数的生成関数が得られた。
• 本稿では、マッチングおよび分割における10組の3パターンペアを形状-ウィルフ同値性の観点から分類し、10組中9組の同値類で回避集合の列挙が行われた。
• 本アプローチにより、1342-回避置換を312-回避マッチングとして解釈することで、Bónaの公式の直接的証明が得られた。