[論文レビュー] Patterns in Inversion Sequences II: Inversion Sequences Avoiding Triples of Relations

Megan A. Martinez, Carla D. Savage|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2016

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ひとこと要約

本稿は、従来の3文字語を、二項関係の三つ組 (ρ₁, ρ₂, ρ₃) に置き換えることで、単調性、単峰性、要素の重複制約などの組合せ的性質をより表現力豊かに特徴付ける、反転列におけるパターン回避のための新規フレームワークを導入する。主な貢献は、343個の関係三つ組の体系的列挙であり、ウィルフ同値類を明らかにするとともに、フィボナッチ数、ベル数、オイラー数など、よく知られた組合せ的数列とパターン回避反転列を結びつける。

ABSTRACT

Inversion sequences of length $n$, $\mathbf{I}_n$, are integer sequences $(e_1, \ldots, e_n)$ with $0 \leq e_i < n$ for each $i$. The study of patterns in inversion sequences was initiated recently by Mansour-Shattuck and Corteel-Martinez-Savage-Weselcouch through a systematic study of inversion sequences avoiding words of length 3. We continue this investigation by generalizing the notion of a pattern to a fixed triple of binary relations $(ρ_1,ρ_2,ρ_3)$ and consider the set $\mathbf{I}_n(ρ_1,ρ_2,ρ_3)$ consisting of those $e \in \mathbf{I}_n$ with no $i < j < k$ such that $e_i ρ_1 e_j$, $e_j ρ_2 e_k$, and $e_i ρ_3 e_k$. We show that "avoiding a triple of relations" can characterize inversion sequences with a variety of monotonicity or unimodality conditions, or with multiplicity constraints on the elements. We uncover several interesting enumeration results and relate pattern avoiding inversion sequences to familiar combinatorial families. We highlight open questions about the relationship between pattern avoiding inversion sequences and families such as plane permutations and Baxter permutations. For several combinatorial sequences, pattern avoiding inversion sequences provide a simpler interpretation than otherwise known.

研究の動機と目的

• 反転列におけるパターン回避の概念を、3文字語から二項関係の三つ組へ一般化すること。
• 単調性、単峰性、または重複制約を満たす反転列を、関係三つ組を用いて特徴付けること。
• 特定の関係三つ組を回避する反転列の列挙と、ウィルフ同値類の同定。
• パターン回避反転列と、フィボナッチ数、ベル数、シュレーダー数などの古典的組合せ的族との関連を確立すること。
• 残りの回避集合におけるウィルフ同値性と列挙に関する未解決問題を強調すること。

提案手法

• 3文字語 w₁w₂w₃ から、任意の i < j < k に対して eᵢρ₁eⱼ、eⱼρ₂eₖ、eᵢρ₃eₖ が同時に成立しない三つ組の二項関係 (ρ₁, ρ₂, ρ₃) へのパターン回避の再定式化。
• Iₙ(ρ₁, ρ₂, ρ₃) を、関係を満たす三つ組を含まない長さ n の反転列の集合として回避集合として定義。
• 集合 {<, >, ≤, ≥, =, ≠, −}³ から得られる343通りの関係三つ組を体系的に分析。ここで '−' は普遍関係を表す。
• 特に 010、100、120、201 の回避を含むクラスにおいて、α および β などの双対写像を用いて、非同値パターン間のウィルフ同値性を証明。
• 直接列挙と構造的解析を通じて、回避集合と既知の組合せ的数列との関連を確立。これには、置換や s-反転列との関連も含む。
• オンライン整数列大辞典（OEIS）および PermLab などの計算ツールを活用して、数列の検証と発見を実施。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関係三つ組 (ρ₁, ρ₂, ρ₃) の回避は、特定の単調性または単峰性を満たす反転列を特徴づけられるか？
• RQ2 非同値パターン (ρ₁, ρ₂, ρ₃) 間に、同じ列挙列をもたらすウィルフ同値性が存在するか？
• RQ3 関係三つ組を回避する反転列は、既知のパターン回避置換としての実現よりも、より単純な組合せ的解釈を提供できるか？
• RQ4 パターン回避反転列とバクサー置換や符号付き置換などの古典的組合せ的対象との間には双対写像が存在するか？
• RQ5 Iₙ(010)、Iₙ(100)、Iₙ(120)、Iₙ(201) のような未解決のケースについて、列挙式を導出できるか？

主な発見

• 本稿は、343通りの関係三つ組のうち98の同値類を同定し、さらに63のウィルフ同値類を予想する。
• 回避集合 Iₙ(≥, ≥, ≥) は、長さ3の非増加部分列を含まない反転列に対応し、{000, 100, 110, 210} の回避と等価である。
• (−, ≠, ≥) および (≠, −, ≥) はウィルフ同値であり、それぞれ {110, 210, 120, 201, 010} および {100, 210, 120, 201, 010} を回避する。
• 双対写像 α は 010-回避、120-回避、201-回避を保存するため、(−, ≠, ≥) と (≠, −, ≥) 間のウィルフ同値性の証明が可能である。
• 本稿は、Iₙ(021) = Iₙ(<, >, <) および Iₙ(010) = Iₙ(<, >, =) が、オイラー数の上下数やベル数と関連していることを確立する。
• いくつかの未解決問題が残っており、特に Sₙ(4231, 42513) と Iₙ(>, −, >) の同数性、およびベル数と Iₙ(=, ≥, −) の同数性が示唆されている。