[論文レビュー] Pauli-type coupling between spinors and curved spacetime

Jürgen Struckmeier, David Vasak+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2018

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 16被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、基本的長さパラメータ ℓ を持つ非退化ディラックラグランジアンを導入し、スピンアイズと曲がった時空のペアノ型結合を生じさせる。理論は曲率依存の質量補正と異常なスピンねじれ結合を予測し、フェルミオンがゼロでないリッチ曲率領域で有効質量を獲得することを示唆する——これは、静止質量がゼロであっても成り立つ。このことはニュートリノ質量生成の新しいメカニズムを提供し、初期宇宙のインフレーションにも影響を及ぼす。

ABSTRACT

In this study we prove that the Pauli interaction -- which is associated with a length parameter -- emerges when the minimal coupling recipe is applied to the non-degenerate version of the Dirac Lagrangian. The conventional Dirac Lagrangian is rendered non-degenerate if supplemented by a particular term quadratic in the derivatives of the spinors. For dimensional reasons, this non-degenerate Dirac Lagrangian is associated with a length parameter $\ell$. It yields the standard free Dirac equation in Minkowski space. However, if the Dirac spinor is minimally coupled to gauge fields, then the length parameter~$\ell$ becomes a physical coupling constant yielding novel interactions. For the U($1$) symmetry the Pauli coupling of fermions to electromagnetic fields arises, modifying the fermion's magnetic moment. In a second step we then investigate how analogous "Pauli-type" couplings of gravity and matter arise if fermions are embedded in curved spacetime. Minimal coupling of the Dirac field to the gauge field of gravity, the spin connection, leads to an anomalous spin-torsion interaction and a curvature-dependent mass correction. The relation of the latter to Mach's Principle is discussed. Moreover, it is found for a totally anti-symmetric torsion that an upper limit for the "strength" of the torsion exists in order for a solution to remain causal, while causality for a vector torsion requires a lower limit for its amplitude. We calculate the mass correction in the De~Sitter geometry of vacuum with the cosmological constant $Λ$. Possible implications for the existence of effective non-zero rest masses of neutrinos are addressed. Finally, an outlook on the impact of mass correction on the physics of "Big Bang" cosmology, black holes, and of neutron stars is provided.

研究の動機と目的

• 微分同相変換不変性および局所ゲージ対称性を保ちつつ、曲がった時空におけるディラック場の非退化ハミルトニアン形式を構築すること。
• 標準ディラックラグランジアンの退化を解消するために、新たな長さスケール ℓ を導入し、ハミルトニアン力学に必要な運動量-速度の逆変換を可能にする。
• 標準的最小結合を超える、具体的にはリーマン曲率テンソルへのペアノ型相互作用を含む、新しい重力的結合を導出すること。
• これらの結合の物理的結果、特にニュートリノ質量および初期宇宙宇宙論における影響を検討すること。
• ねじれおよび曲率がフェルミオン力学をどのように変化させるかを検討し、静止質量に依存しない有効質量生成の役割を明らかにすること。

提案手法

• 長さパラメータ ℓ を含む発散項を追加することで、非退化ディラックラグランジアンを採用し、運動量と速度の逆変換が保証されるようにする。
• 微分同相変換不変性および曲がった時空における正準構造を維持するため、De Donder-Weyl ハミルトニアン形式を用いる。
• 局所ローレンツ変換下でのゲージ場としてのスピン接続係数を特定し、ディラック場を動的曲率を持つ時空に埋め込む。
• リーマンテンソルおよびスピン接続を介したねじれを含む、曲がった時空における修正されたディラック方程式を導出する。
• 計量的かつねじれなしの状況において、恒等式 $ R_{\xi\eta\alpha\beta} \boldsymbol{\gamma}^\xi \boldsymbol{\gamma}^\eta \boldsymbol{\gamma}^\alpha \boldsymbol{\gamma}^\beta = -2R \boldsymbol{\Eins} $ を適用し、ペアノ結合をリッチスカラー R を用いて表現する。
• ℓ → 0 の極限を解析し、標準ディラック方程式が回復されることを確認することで、既存の結果と整合性を保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲がった時空におけるディラック場に非退化ハミルトニアン形式を一貫して適用する方法は何か？ これにより局所対称性が保たれるか？
• RQ2 ディラックラグランジアンに基本的長さスケール ℓ を導入することで、標準的最小結合を超えた物理的効果は何か？
• RQ3 リーマン曲率テンソルへのペアノ型結合は、曲がった時空における質量ゼロのフェルミオンに有効質量を生成するか？
• RQ4 ねじれの存在がディラック方程式に与える影響は何か？ 本フレームワークにおけるスピン-ねじれ結合の役割は？
• RQ5 この形式は、ディラック質量項が存在しない場合でもニュートリノ質量の起源を説明できるか？ 特に、初期宇宙のような高曲率環境においては？

主な発見

• 曲がった時空における修正されたディラック方程式には、リーマンテンソルへのペアノ型結合が含まれており、長さパラメータ ℓ に明示的に比例する。
• ねじれがない状況では、ペアノ結合項は $ \frac{\ell}{12} R \psi $ に簡略化され、有効質量補正 $ \sim \ell R $ を生じる。これは $ m = 0 $ の場合でも非ゼロである。
• 有効質量項 $ \frac{\ell}{12} R $ は、質量ゼロのフェルミオンが曲率依存質量を獲得することを示唆し、光が媒質中で遅れるのと類似した現象である。
• このメカニズムにより、ディラック質量項が消滅してもニュートリノ質量の新たな起源が提供され、曲がった媒質内でのニュートリノ振動の再解釈を可能にする。
• 大気および地上のニュートリノ振動は、異なる媒質におけるリッチ曲率の違いにより異なった挙動を示す可能性があり、観測可能な影響を及ぼす。
• 初期宇宙では、大きな曲率値（$ R \sim \ell^{-2} $）が、フェルミオン寄与による有効質量の寄与を通じてインフレーション的ダイナミクスを引き起こし、初期宇宙インフレーションモデルを支持する。