[論文レビュー] Pecan: An Automated Theorem Prover for Automatic Sequences using Büchi Automata

Reed Oei, Dun Ma+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2021

semigroups and automata theory参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

Pecan は、Büchi 自動機を用いて無限族の自動列について推論する、Sturmian 語の自動定理証明者である。Büchi 自動機を用いて非可算族を扱い、カスタム表記体系とメタプログラミング言語を統合することで、Pecan は古典的かつ新しい定理を効率的に証明した。理論的複雑性にもかかわらず、実用的な性能を示した。

ABSTRACT

Pecan is an automated theorem prover for reasoning about properties of Sturmian words, an important object in the field of combinatorics on words. It is capable of efficiently proving non-trivial mathematical theorems about all Sturmian words.

研究の動機と目的

• Büchi 自動列の一般用途の決定手続きを開発すること、特に Sturmian 語のような非可算族に対して。
• 実数パラメータ（傾き α と切片 ρ）でインデックス付けされたすべての Sturmian 語に対して、個々の例に代えて一括して自動推論を可能にすること。
• Walnut などの既存ツールを拡張し、有限自動機ではなく Büchi 自動機を用いて非可算族をサポートすること。
• カスタム表記体系、型、およびメタプログラミング言語（Praline）を備えたユーザーフレンドリーなインターフェースを提供し、性質の定義と証明を可能にすること。
• 非自明な定理、特に新しい結果と古典的定理の再証明を含む、実用的な性能を示すこと。

提案手法

• Sturmian 語を無理数の傾き α ∈ (0,1) と切片 ρ ∈ [0,1) でパラメータ化された族として表現し、wn = ⌊nα + ρ⌋ − ⌊(n−1)α + ρ⌋ の式を用いる。
• 非決定的 Büchi 自動機を用いて無限語およびその族を認識し、非可算パrameter 空間における量化を可能にする。
• 複数の表記体系（例：Ostrowski、基数 b）とインデックス付けおよび述語定義のためのカスタム型をサポートする型システムを実装する。
• 複雑な述語のアドホック多態性とモジュラー定義を可能にするために、メタプログラミング言語（Praline）を統合する。
• Büchi 自動機の閉包性質（積、和、補集合、射影）を用いて論理式の自動機を構築する。
• 結果の自動機に対して空集合チェックを実行し、すべての Sturmian 語における論理的文の真偽を決定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Büchi 自動機は、すべての Sturmian 語のような非可算族の自動列について、実際に効果的に推論に用いることができるか？
• RQ2 自動定理証明者は、Sturmian 語の定義における実数パラメータ（α, ρ）に関する量化を含む複雑な論理的文を処理できるか？
• RQ3 Pecan は、Sturmian 語における一般的な組合せ的述語（例：平方、回文、反平方）について、自動機をどれほど効率的に構築・評価できるか？
• RQ4 Pecan は、既知の Sturmian 語に関する定理（例：非周期性）を再証明でき、自動的に新しい数学的結果を発見できるか？
• RQ5 特に複数の量化子を含む論理的複雑性が増すと、Pecan の性能はどの程度スケーリングするか？

主な発見

• Pecan は、非周期性などの古典的定理を数分以内に再証明し、実用的な自動化を示した。
• 「反平方」の述語について、200万を超える状態を有する Büchi 自動機を100秒未満で構築し、大規模な状態数にもかかわらずスケーラビリティを示した。
• ∀ℝ∃²∀³ のような複雑な量化子の入れ替えを含む定理について、500秒未満で処理し、最大2000万の辺を有する自動機を生成した。
• 「最終的に周期的である」の自動機は空であったため、すべての Sturmian 語が最終的に周期的でないという既知の数学的結果が確認された。
• Pecan は、複雑度別にグループ化された18の定理を証明した。最も複雑な（∀ℝ∀³∃⁴ を含む）定理は156.6秒で処理され、2,032,240状態および47,851,215辺を有する自動機が生成された。
• Büchi 自動機の使用により、非可算族を扱う点で Walnut よりも性能が優れており、すべての Sturmian 語に対する完全な量化が可能になった。