[論文レビュー] Peierls Brackets in Theoretical Physics

Giampiero Esposito, G. Marmo+1 more|ArXiv.org|Sep 18, 2002

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、場の運動方程式の線形化作用素の遅延および先進グリーン関数を用いて構築された、量子場理論および一般相対性理論における共変なポアソン括弧形式としてのペイエルス括弧を導入する。ペイエルス括弧が全微分同相変換群に関して不変であり、点力学および場理論で標準的な正準交換関係を回復することを示し、正準ハミルトニアン形式に対する明示的に共変な代替手法を提供する。

ABSTRACT

Peierls brackets are part of the space-time approach to quantum field theory, and provide a Poisson bracket which, being defined for pairs of observables which are group invariant, is group invariant by construction. It is therefore well suited for combining the use of Poisson brackets and the full diffeomorphism group in general relativity. The present paper provides an introduction to the topic, with applications to field theory and point Lagrangians.

研究の動機と目的

• 場理論における正準ハミルトニアン形式の代替としてのペイエルス括弧の教育的導入を提供すること。
• ペイエルス括弧が一般相対性理論において全微分同相変換不変性を保つ仕組みを示し、標準的ハミルトニアン手法の限界を克服すること。
• 点力学および場理論においてペイエルス括弧と正準ポアソン括弧との等価性を確立すること。
• グリーン関数およびゲージ不変な摂動を用いてペイエルス括弧の数学的構造を明確にすること。
• 古典的および量子場理論における力学のシンプレクティック的および共変的記述を統一すること。

提案手法

• 作用の2番目の汎関数微分 $ S_2 $ およびゲージ変換を生成する $ R $ を用いて、作用素 $ F = S_2 + \rho R \tilde{\rho}^{-1} R^t \rho $ を構築する。
• 左および右逆作用素としての先進および遅延グリーン関数 $ G^\flat $ を定義し、$ -F $ に対する左および右逆作用として $ G^\flat F = -\text{1\rlap{\raise0.15ex\textdegree}{\textnormal{I}}}} $ および $ F G^\flat = -\text{1\rlap{\raise0.15ex\textdegree}{\textnormal{I}}}} $ を満たすようにする。
• 反対称組み合わせ $ \tilde{G} = G^+ - G^- $ を導入し、$ (A,B) = A_{,i} \tilde{G}^{ij} B_{,j} $ を用いてペイエルス括弧を定義する。ここで $ A_{,i} = \frac{\rho A}{\rho \rho^i} $ である。
• $ F $ の対称性と $ \tilde{G}^{ij} = -\tilde{G}^{ji} $ の相互作用関係を用いて、括弧が反対称であり、ジャコビ恒等式を満たすことを保証する。
• 点力学にこの形式を適用し、$ (q^i, \tilde{q}^j) $、$ (\tilde{q}^i, \tilde{q}^j) $、および $ (p_i, p_j) $ を計算し、正準交換関係を回復する。
• シンプレクティック形式、ポアソン括弧、関数の対応を古典力学と場理論との間でマッピングすることで、対応関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般相対性理論において、全微分同相変換群に関して明示的に不変なポアソン括弧形式をどのように構築できるか？
• RQ2 点力学および場理論において、ペイエルス括弧と標準的正準ポアソン括弧との関係は何か？
• RQ3 線形化場作用素の遅延および先進グリーン関数が、一貫性があり反対称な括弧構造をどのように得るか？
• RQ4 ペイエルス括弧形式は、古典的および量子場理論の両方で正準交換関係を回復できるか？
• RQ5 有限次元力学におけるシンプレクティック構造と無限次元場配置空間におけるペイエルス括弧との正確な対応関係は何か？

主な発見

• ペイエルス括弧は、遅延および先進グリーン関数の反対称差分 $ \tilde{G} = G^+ - G^- $ から構成され、反対称性および共変性を保証する。
• ペイエルス括弧 $ (A,B) = A_{,i} \tilde{G}^{ij} B_{,j} $ は、点力学において正準交換関係 $ (q^i, p_j) = \rho^i_j $、$ (p_i, p_j) = 0 $、および $ (q^i, \tilde{q}^j) = -C^{-1ij} $ を再現する。
• $ (p_i, p_j) $ は恒等的にゼロであり、高次の時間微分がない状況での正準構造との整合性を確認する。
• グリーン関数が時空上で定義されており、空間と時間に分割されていないため、形式は全微分同相変換不変性を保つ。これは $ \rho \times \text{R} $ の位相的問題を回避する。
• 相互作用関係 $ \tilde{G}^{ij} = -\tilde{G}^{ji} $ および $ G^{\flat ij} = G^{\flat ji} $ により、$ A $ の遅延的影響が $ B $ の先進的影響に等しくなることが保証され、因果性が反映される。
• $ F $ および $ \tilde{G} $ がゲージ共変作用素から構成されるため、ペイエルス括弧はゲージ対称性を含む理論の全不変群に関して不変である。