[論文レビュー] Perfect but not generating Delaunay polytopes

Mathieu Dutour Sikirić, Konstantin Rybnikov|ArXiv.org|May 28, 2009

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$s \geq 2$ および $n+1 \geq 4s$ を満たす $n$ 次元の完全デローラン多面体 $P(n,s)$ の無限族を構成する。この多面体は完全ではあるが生成的ではない。$6s < n+1$（奇数 $n$）または $6s < n$（偶数 $n$）のとき、$P(n,s)$ はより大きな格子 $V^4_{n,s}$ においても完全デローラン多面体のままであることが示され、これは均一系における古典的な $\mathsf{A}_9$ と $\mathsf{A}_9^2$ の関係に類似した、生成的でない完全デローラン多面体の最初の既知の例である。

ABSTRACT

In his seminal 1951 paper "Extreme forms" Coxeter \cite{cox51} observed that for $n \ge 9$ one can add vectors to the perfect lattice $\sfA_9$ so that the resulting perfect lattice, called $\sfA_9^2$ by Coxeter, has exactly the same set of minimal vectors. An inhomogeneous analog of the notion of perfect lattice is that of a lattice with a perfect Delaunay polytope: the vertices of a perfect Delaunay polytope are the analogs of minimal vectors in a perfect lattice. We find a new infinite series $P(n,s)$ for $s\geq 2$ and $n+1\geq 4s$ of $n$-dimensional perfect Delaunay polytopes. A remarkable property of this series is that for certain values of $s$ and all $n \ge 13$ one can add points to the integer affine span of $P(n,s)$ in such a way that $P(n,s)$ remains a perfect Delaunay polytope in the new lattice. Thus, we have constructed an inhomogeneous analog of the remarkable relationship between $\sfA_9$ and $\sfA_9^2$.

研究の動機と目的

• 完全デローラン多面体の分類における空白を埋めるために、生成的でない完全デローラン多面体の無限族を構成すること。
• 古典的な $\mathsf{A}_9 \subset \mathsf{A}_9^2$ の関係の非均一版を確立すること。すなわち、ある完全格子が、同じ完全デローラン多面体を保つより大きな格子を許容することを示すこと。
• 完全デローラン多面体が、その頂点の整数アフィン包が全格子を生成しない格子に存在しうることを示し、すべての完全デローラン多面体が生成的であるという仮定に疑問を呈すること。
• 対称的集合を $\{0,1\}^{n+1}$ の超立方体から選び、$V^2_{n,s}$ および $V^4_{n,s}$ を用いた格子拡張により、このような多面体を体系的に構成すること。

提案手法

• $V_{n,s}$ を $\{0,1\}^{n+1}$ のうち 1 の個数がちょうど $s$ 個であるベクトルの集合とし、$t_{n,s}$ を特定のシフトベクトルとする。$P(n,s)$ を $V_{n,s} \cup (t_{n,s} + V_{n,s})$ の凸包として定義する。
• $V^2_{n,s} = V_{n,s} \cup (t_{n,s} + V_{n,s})$ を定義し、これがフルランク格子であり、$P(n,s)$ によってアフィン的に生成されることを示す。
• $P(n,s)$ が完全であることを証明する。具体的には、そのデローラン性を実現する一意な正定値二次形式（スケーリングを除き）が $q_{n,s}(x) = 2\sum_{i=0}^{4s-1}x_i^2 + \sum_{i=4s}^{n}x_i^2$ であることを示し、これは外接球の中心 $v_{n,s}$ から導かれる。
• $w_{n,s}$ を適切に選んだベクトルとして $V^4_{n,s} = V^2_{n,s} \cup (w_{n,s} + V^2_{n,s})$ を定義し、$P(n,s)$ のデローラン性を保つように格子を拡張する。
• $V^4_{n,s}$ における最近接ベクトル問題を用いて、$v_{n,s}$ から $w_{n,s} + V^2_{n,s}$ の点までの距離の二乗が外接球の半径の二乗 $\frac{3s}{2}$ を超えることを示し、これにより $P(n,s)$ がデローラン多面体のままであることを保証する。
• $6s < n+1$（奇数 $n$）または $6s < n$（偶数 $n$）が、$P(n,s)$ が $V^4_{n,s}$ においてもデローラン多面体のままであるための十分条件であることを示し、移動ベクトルの $q_{n,s}$-ノルムの下界を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全デローラン多面体が生成的でない、すなわちその整数アフィン包が周囲の格子を生成しないものとして存在しうるか？
• RQ2 $\mathsf{A}_9 \subset \mathsf{A}_9^2$ の現象の非均一版が存在するか。すなわち、ある完全格子が、同じ完全デローラン多面体を保つより大きな格子を許容するか？
• RQ3 $n$ と $s$ にどのような条件を課すと、$P(n,s)$ が拡張格子 $V^4_{n,s}$ においてもデローラン多面体のままであるか？
• RQ4 $\{0,1\}^{n+1}$ の超立方体の対称的部分集合をどのように用いて、対称性と格子構造を制御した完全デローラン多面体を構成できるか？

主な発見

• すべての $s \geq 2$ および $4s \leq n+1$ に対して、多面体 $P(n,s)$ は完全であり、スケーリングを除き一意な正定値二次形式 $q_{n,s}$ を持つ。その形式は $2\sum_{i=0}^{4s-1}x_i^2 + \sum_{i=4s}^{n}x_i^2$ で与えられる。
• $n \geq 13$ かつ $s=2$ のとき、$P(13,2)$ は、拡張格子 $L' = V^4_{13,2}$ において $L(P) \neq L'$ であるため、生成的でない完全デローラン多面体の最初の既知の例である。
• $6s < n+1$（奇数 $n$）または $6s < n$（偶数 $n$）という条件が、$P(n,s)$ が拡張格子 $V^4_{n,s}$ においてもデローラン多面体のままであることを保証する。これは、新しいコセット内の最近接ベクトルが外接球の半径よりも遠くにあることによる。
• $P(n,s)$ の外接球の半径の二乗は $\frac{3s}{2}$ であり、中心は $v_{n,s} = \left(\frac{1}{4},\dots,\frac{1}{4}, \frac{1}{2},\dots,\frac{1}{2}\right)$ で、$4s$ 個の $\frac{1}{4}$ と $n+1-4s$ 個の $\frac{1}{2}$ を含む。
• この構成は既知の例を一般化する。$P(7,2)$ はゴッセト多面体 $3_{21}$ に一致し、$P(8,2)$ は [DER07] に登場するデローラン多面体 $D^8_2$ と一致する。
• $V^4_{n,s}$ は $V^2_{n,s}$ の指数2拡張であり、$P(n,s)$ は、上記の条件のもとで $w_{n,s} + V^2_{n,s}$ のベクトルの $q_{n,s}$-ノルムが $\frac{3s}{2}$ を超えるため、$V^4_{n,s}$ においてもデローラン多面体のままである。