[論文レビュー] Perfect domination in regular grid graphs

Italo J. Dejter|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2007

Coding theory and cryptography参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、2次元整数格子グラフ Λ における、二重無限のバイナリ列によって特徴づけられる非可算個の並行全完全符号の存在を確立し、1-完全符号分割を高次元に一般化する。本稿は、Λ 及びそのトーラス商に属するこのような符号が、生成元集合 {1,…,r} を持つ Z_{2r+1} のカイリー図形として対応することを証明し、r次元格子およびトーラスにおいて一意の1-完全符号分割が得られることを示す。

ABSTRACT

We show there is an uncountable number of parallel total perfect codes in the integer lattice graph $Λ$ of $\R^2$. In contrast, there is just one 1-perfect code in $Λ$ and one total perfect code in $Λ$ restricting to total perfect codes of rectangular grid graphs (yielding an asymmetric, Penrose, tiling of the plane). We characterize all cycle products $C_m imes C_n$ with parallel total perfect codes, and the $d$-perfect and total perfect code partitions of $Λ$ and $C_m imes C_n$, the former having as quotient graph the undirected Cayley graphs of $\Z_{2d^2+2d+1}$ with generator set $\{1,2d^2\}$. For $r>1$, generalization for 1-perfect codes is provided in the integer lattice of $\R^r$ and in the products of $r$ cycles, with partition quotient graph $K_{2r+1}$ taken as the undirected Cayley graph of $\Z_{2r+1}$ with generator set $\{1,...,r\}$.

研究の動機と目的

• 2次元整数格子グラフ Λ in における全完全符号の構造および存在を特徴づけること。
• サイクル積 C_m × C_n における並行全完全符号の存在を調査すること。
• 1-完全符号分割を r次元整数格子およびそのトーラス商に一般化すること。
• これらの符号分割の商グラフが、巡回群の無向カイリー図形として特定されることを同定すること。
• Λ における1-完全符号およびその長方形グリッドグラフへの制限における一意性を確立すること。

提案手法

• Λ in における並行全完全符号と二重無限バイナリ列との間の一対一対応を確立した。
• Λ^r の頂点に Z_{2r+1} を用いてラベル付けを行い、隣接する頂点は i 番目の座標において i mod (2r+1) だけ異なるように定義した。
• 各頂点に座標和を (2r+1) を法として計算し、{1,…,2r+1} のラベルを割り当てることで、Λ^r における1-完全符号分割を構成した。
• 標準的射影 ρ: Λ^r → C_{m_1} × ⋯ × C_{m_r} を用いて、トーラスからの符号分割を無限格子へと持ち上げた。
• 符号分割の商グラフが、生成元集合 {1,…,r} を持つ Z_{2r+1} の無向カイリー図形 K_{2r+1} であることを証明した。
• Λ^r におけるベース符号に同型な1-完全符号の総数が、鏡映対称性およびラベル置換を考慮して 2(2r+1) 個であることを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元整数格子グラフ Λ には、いくつの並行全完全符号が存在するか？
• RQ2 どのサイクル積 C_m × C_n において並行全完全符号が存在するか？
• RQ3 Λ および C_m × C_n における d-完全および全完全符号分割の商グラフは何か？
• RQ4 1-完全符号分割は、どのように r次元格子およびトーラスに一般化できるか？
• RQ5 Λ^r 及びそのトーラス商における1-完全符号の集合の構造および濃度は何か？

主な発見

• 2次元格子 Λ には、二重無限バイナリ列と一対一対応する非可算個の並行全完全符号が存在する。
• Λ にはちょうど1つの1-完全符号が存在し、長方形グリッドグラフに制限しても全完全符号をもつ唯一の全完全符号が存在する。この符号は、非対称なペネロープ型タイル張りに相当する。
• Λ および C_m × C_n の d-完全符号分割の商グラフは、生成元集合 {1, 2d^2} を持つ Z_{2d^2 + 2d + 1} の無向カイリー図形である。
• r次元格子において、商グラフが K_{2r+1}（生成元集合 {1,…,r} を持つ Z_{2r+1} の無向カイリー図形）である1-完全符号分割が存在する。
• Λ^r におけるベース符号に同型な1-完全符号の総数は、鏡映対称性およびラベル置換によって生じる 2(2r+1) 個である。
• r ≥ 1 に対して、r次元トーラス C_{m_1} × ⋯ × C_{m_r} に1-完全符号分割が存在するための必要十分条件は、各 m_i が q / gcd(q, i) の倍数であることである。ここで q = 2r + 1 である。