[論文レビュー] Perfectoid covers of abelian varieties

Clifford Blakestad, Damián Gvirtz+5 more|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、非アーケリデスキー体 $K$ における代数的に閉じた残渣特徴値 $p$ を持つ体上のアベルオイド多様体 $A$ に対して、逆系 $\varprojlim_{[p]}A$ のティルダ極限としての完全体的空間 $A_{u}$ の存在を確立する。この構成はレイノー・拡大を用い、トーラスおよび良い還元をもつアーベル多様体の完全体的ティルダ極限を用い、完全体的群の短完全列 $0 \to T_\infty \to E_\infty \to B_\infty \to 0$ を得る。これにより、$A^\diamond$ が $A_\infty / T_pA$ として均一化され、アーベル多様体および曲線の普遍的プロ・エタール被覆がプロ・エタール位相を用いて得られる。

ABSTRACT

For an abelian variety $A$ over an algebraically closed non-archimedean field of residue characteristic $p$, we show that there exists a perfectoid space which is the tilde-limit of $\varprojlim_{[p]}A$. Our proof also works for the larger class of abeloid varieties.

研究の動機と目的

• 非アーケリデスキー体上のアベルオイド多様体に対して、$[p]$-乗法塔 $\varprojlim_{[p]}A$ のティルダ極限としての完全体的空間 $A_\infty$ を構成すること。
• 良い還元をもつアーベル多様体についての既知の結果を、レイノー拡大を用いて半安定還元の一般の場合に拡張すること。
• 完全体的群構造を用いて、ダイアモンド $A^\diamond$ を商 $A_\infty / T_pA$ として均一化すること。
• プロ・エタール基本群をタートモジュール $TA$ として用い、曲線からアーベル多様体への普遍的プロ・エタール被覆構成を一般化すること。

提案手法

• ハッバーのティルダ極限の概念を用い、通常の極限が存在しない広義空間の圏における逆極限を定義する。
• 分解されたトーラス $T = (\mathbb{G}_m^{\text{an}})^d$ に対して、$[p]$-乗法塔を用いて完全体的ティルダ極限 $T_\infty$ を構成する。
• 局所的に分解可能なレイノー拡大 $0 \to T \to E \to B \to 0$ を用い、ファイバー束の技法を広義空間で用いて $[p]$-塔を $E$ に持ち上げる。
• $E$ の完全体的ティルダ極限 $E_\infty$ を、$[p]$-塔に沿って局所的分解を追跡することで構成し、短完全列 $0 \to T_\infty \to E_\infty \to B_\infty \to 0$ を得る。
• 格子 $M \subset E$ を用い、$A = E/M$ の $[p]$-塔を二つの塔に分解する：一つは $E/M_n$ 上で、もう一つは射影写像 $v^n: E/M \to E/M_n$ を通じて。
• $A'_\infty$ を $E/M_n$ のティルダ極限として構成し、$0 \to M \to E_\infty \to A'_\infty \to 0$ に適合させる。エタール降下を用いて $A_\infty$ を商として得る。これにより $A_\infty \sim \varprojlim_{[p]}A$ が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非アーケリデスキー体の残渣特徴値 $p$ を持つアベルオイド多様体の $[p]$-乗法塔に対して、完全体的ティルダ極限が存在するか？
• RQ2 プロ・エタール位相を用いて、曲線からアーベル多様体への完全体的普遍被覆の構成を拡張できるか？
• RQ3 レイノー拡大 $0 \to T \to E \to B \to 0$ の構造が、半安定還元の場合の完全体的ティルダ極限の構成をどのように支援するか？
• RQ4 完全体的群 $A_\infty$ がタートモジュール $T_pA$ による商として得られる正確な構造は何か？
• RQ5 完全体的幾何学を用いて、ダイアモンド $A^\diamond$ が完全体的幾何学的に商 $A_\infty / T_pA$ として一様に記述可能か？

主な発見

• 任意のアベルオイド多様体 $A$ に対して、完全体的ティルダ極限 $A_\infty$ が存在し、$A_\infty \sim \varprojlim_{[p]}A$ を満たす。これは、良い還元をもつ場合の既知の結果を一般化する。
• この構成により、完全体的群の短完全列 $0 \to T_\infty \to E_\infty \to B_\infty \to 0$ が得られ、$T_\infty$ はトーラス $T$ の完全体的極限である。
• 曲線 $C$ の普遍被覆 $\tilde{C}$ は、$\tilde{C} \sim \varprojlim_H C_H$ として完全体的ティルダ極限であり、$\pi_1(C,x)$ に付随するプロ・エタール $\pi_1(C,x)$- torsor である。
• アーベル多様体の場合、プロ・エタール基本群はタートモジュール $TA = \varprojlim_N A[N]$ に同型であり、$A^\diamond$ は均一化 $A^\diamond = A_\infty / T_pA$ を持つ。
• ティルダ極限 $A_\infty$ は、$0 \to M \to D_\infty \times E_\infty \to A_\infty \to 0$ という、コンパクトな完全体的列に適合する。ここで $D_\infty$ は核 $D_n$ のティルダ極限であり、元の $0 \to M \to E \to A \to 0$ の完全体的類似である。
• 写像 $\tilde{C} \to C$ は、すべての有限プロ・エタール完全体被覆 $X \to C$ に対して普遍的であり、$X \cong \underline{F(X)} \times^{\pi_1(C,x)} \tilde{C}$ がカテゴリカル商を用いて成り立つ。