[論文レビュー] Period, index and potential sha

Pete L. Clark, Shahed Sharif|ArXiv.org|Nov 18, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、O'Neilの周期-指数障害写像の理論を発展させ、全球体上の種数1曲線に関する算術的問題を解決する。任意のペア (P, I) について、P が I を整除し、I が P² を整除する場合、周期 P および指数 I を持つ数体 K と K 上の種数1曲線 C が存在することを証明する。さらに、ヤコビアンが E で指数 P² であるような無限個のこのような曲線を構成し、体拡張におけるシャファレヴィッチ＝タイト群の構造に強い帰結をもたらす。

ABSTRACT

In this paper we advance the theory of O'Neil's period-index obstruction map and derive consequences for the arithmetic of genus one curves over global fields. Our first result implies that for every pair of positive integers (P,I) with P dividing I and I dividing P^2, there exists a number field K and a genus one curve C over K with period P and index I. Second, let E be any elliptic curve over a global field K, and let P > 1 be any integer indivisible by the characteristic of K. We construct infinitely many genus one curves C over K with period P, index P^2, and Jacobian E. We deduce strong consequences on the structure of Sharevich-Tate groups under field extension.

研究の動機と目的

• O'Neilの周期-指数障害写像を全球体に拡張し、種数1曲線の算術に応用すること。
• 全球体上の種数1曲線の周期と指数のペア (P, I) の可能な範囲を解明すること。
• 指定された周期 P、指数 P²、および与えられたヤコビアン楕円曲線 E を持つ種数1曲線の無限族を構成すること。
• 体拡張におけるシャファレヴィッチ＝タイト群の構造的帰結を導出すること。
• 種数1曲線のモジュライ空間における周期に対する指数の一般的な振る舞いを調査すること。

提案手法

• リヒテンバウム＝テイト双対性とシータ群の関手的性質を用いて、周期-指数障害写像を分析する。
• ガロアコhomology技法を H¹(K, E) に適用し、局所的挙動を制御するクラスを構成する。
• コアシストラクション写像と素イデアルの選択を用いて、所定の周期と指数を持つコhomologyクラスを構築する。
• 楕円曲線に完全な P- torsion が存在することと、P*-torsion に関する条件を用いて障害写像を制御する。
• 体拡張と局所的条件を用いて明示的な例を構成し、所望の周期と指数ペアを実現する。
• ブレア群とコhomological記号の結果を応用し、高次元および正標数設定における障害写像を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 P が I を整除し、I が P² を整除するようなペア (P, I) に対して、周期 P および指数 I を持つ全球体上の種数1曲線が存在するか？
• RQ2 固定されたヤコビアン E、周期 P、指数 P² を持つ全球体上の種数1曲線を無限個構成できるか？
• RQ3 特に周期-指数の不一致に関連して、体拡張におけるシャファレヴィッチ＝タイト群はどのように振る舞うか？
• RQ4 正標数において、周期-指数障害写像は全射的か、計算可能か？
• RQ5 周期 P の種数1曲線のモジュライ空間の一般的な指数が P² であることを示せるか？

主な発見

• P が I を整除し、I が P² を整除する任意のペア (P, I) に対して、周期 P および指数 I を持つ数体 K と K 上の種数1曲線 C が存在する。
• 全球体 K 上の任意の楕円曲線 E と 1 より大きい整数 P（標数と互いに素）に対して、周期 P、指数 P²、ヤコビアン E を持つ種数1曲線が無限個存在する。
• 任意の r に対して、ある P 次体拡張 L/K において、E のシャファレヴィッチ＝タイト群に少なくとも r 個の位数 P の元が存在する。
• 障害写像 ΔP が I/P の比を制御することを示し、I/P = |ΔP(H¹(K, E[P]))| であるという予想は、タイトなコhomologicalな境界と同値である。
• I = P² である例は I < P² である例よりも容易に構成可能であり、これは I = P² がモジュライ的意味で一般的であることを示唆する。
• 障害写像を正標数に拡張することや、曲線の周期-指数問題とそのヤコビアンとの関係を明らかにすることに関する未解決問題を提示する。