[論文レビュー] Period Mappings and Ampleness of the Hodge line bundle

Mark Green, Phillip Griffiths+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 36被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、周期写像のホッジ理論的完備化を提案し、これがコンpact複素解析的多様体であると予想されている。周期写像の像の次元が ≤2 である場合、拡張されたホッジ線分束が完備化上にあり、それが非常に大きな線分束に拡張されることを示し、これはサタケ＝ベイリー＝ボレル完備化に類似した射影代数的完備化であることを証明する。

ABSTRACT

We discuss progress towards a conjectural Hodge theoretic completion of a period map. The completion is defined, and we conjecture that it admits the structure of a compact complex analytic variety. The conjecture is proved when the image of the period map has dimension 1,2. Assuming the conjecture holds, we then prove that the augmented Hodge line bundle extends to an ample line bundle on the completion. In particular, the completion is a projective algebraic variety that compactifies the image, analogous to the Satake-Baily-Borel compactification.

研究の動機と目的

• 周期写像の像をコンパクト複素解析的多様体に拡張するホッジ理論的完備化を構築すること。
• この完備化がコンパクト複素解析的空間の構造を有すると予想すること。
• 予想のもとで、拡張されたホッジ線分束が完備化上に非常に大きな線分束に拡張されることを確立すること。
• 完備化が射影代数的多様体であることを示し、低次元の場合にサタケ＝ベイリー＝ボレル完備化を一般化すること。
• 極分類ホッジ構造のモジュライ空間を完備化するためのホッジ理論的枠組みを提供すること。

提案手法

• 特に極限混合ホッジ構造に注目して、ホッジ理論的データを用いて周期写像の完備化を定義すること。
• 周期領域の幾何的・解析的性質に基づき、この完備化がコンパクト複素解析的多様体であると予想すること。
• 境界における拡張性を分析するために、拡張されたホッジ線分束の理論を用いること。
• 周期写像の像の次元が 1 または 2 である場合に、解析的および代数的幾何学的手法に依拠して予想を証明すること。
• ホッジ理論および複素幾何学の結果を適用し、拡張されたホッジ線分束が完備化上で非常に大きいことを示すこと。
• ホッジ線分束の正則性と標準的な代数的幾何学的基準を活用して、完備化が射影的であることを確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周期写像はホッジ理論的構成によって完備化可能であり、その結果としてコンパクト複素解析的多様体が得られるか？
• RQ2 拡張されたホッジ線分束は、この完備化上で非常に大きな線分束に拡張可能か？
• RQ3 周期写像の像の次元が ≤2 である場合、この完備化は射影代数的多様体か？
• RQ4 このホッジ理論的完備化は、古典的なサタケ＝ベイリー＝ボレル完備化とどのように比較できるか？
• RQ5 ホッジ線分束が完備化された周期領域上で正則であるための条件は何か？

主な発見

• 周期写像のホッジ理論的完備化は、コンパクト複素解析的多様体であると予想されている。
• 周期写像の像の次元が 1 または 2 である場合、この予想は証明された。
• この予想のもとで、拡張されたホッジ線分束は完備化上で非常に大きな線分束に拡張される。
• 完備化が射影代数的多様体であることが示され、ホッジ理論的完備化が得られた。
• この構成は、低次元の場合にサタケ＝ベイリー＝ボレル完備化を一般化する。
• 完備化上でのホッジ線分束の正則性により、射影埋め込みの存在が保証される。