[論文レビュー] Periodic cyclic homology of affine Hecke algebras

Maarten Solleveld|ArXiv.org|Oct 8, 2009

Advanced Algebra and Geometry参考文献 83被引用数 18

ひとこと要約

この論文は、再帰的 $p$-進群の表現論に現れる代数のクラスであるアフィンヘッケ代数の周期的循環ホモロジーを計算する。$K$-理論、循環ホモロジー、調和解析の技術を用いて、周期的循環ホモロジーと代数の表現論的データを結びつけるチェーン・キャラクター同型を確立する。特に、パラメータが等しい場合に注目する。

ABSTRACT

This is the author's PhD-thesis, which was written in 2006. The version posted here is identical to the printed one. Instead of an abstract, the short list of contents: Preface 5 1 Introduction 9 2 K-theory and cyclic type homology theories 13 3 Affine Hecke algebras 61 4 Reductive p-adic groups 103 5 Parameter deformations in affine Hecke algebras 129 6 Examples and calculations 169 A Crossed products 223 Bibliography 227 Index 237 Samenvatting 245 Curriculum vitae 253

研究の動機と目的

• アフィンワイル群の群代数の変形であるアフィンヘッケ代数の周期的循環ホモロジーを計算すること。
• 周期的循環ホモロジーと代数の $K$-理論の間のチェーン・キャラクター同型を確立すること。
• ホモロジー的不変量を用いて、特にパラメータが等しい場合のアフィンヘッケ代数の表現論の既知の結果を拡張すること。
• ベルンシュタイン分解を通じて、アフィンヘッケ代数のホモロジー構造と $p$-進群上の調和解析を結びつけること。
• 幾何的および代数的データに基づく、既約表現の分類を理解するためのホモロジー的フレームワークを提供すること。

提案手法

• 有限型代数、特にアフィンヘッケ代数に対して、位相的循環理論と周期的循環ホモロジーを適用する。
• 等しいパラメータの場合の同型を活用して、位相的 $K$-理論と周期的循環ホモロジーを結ぶチェーン・キャラクターを用いる。
• ヘッケ代数上のフーリエ変換を用いて、表現と双対空間上の関数を関連付ける。
• 滑らかな表現の圏を、それぞれがアフィンヘッケ代数上の加群圏に同値であるブロックに分けるベルンシュタイン分解を用いる。
• カジダンとルシュティグの仕事と、等変 $K$-理論の結果を用いて、既約表現を分類し、それらをホモロジー計算に関連付ける。
• 再帰的 $p$-進群の構造とそのハリシュ＝チャンドラ・スワーツ代数を根拠として、関連する代数とそのホモロジー的不変量を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメータが等しい場合を含め、アフィンヘッケ代数の周期的循環ホモロジーは何か？
• RQ2 周期的循環ホモロジーは、代数の $K$-理論と表現論とどのように関係しているか？
• RQ3 チェーン・キャラクターは、アフィンヘッケ代数の周期的循環ホモロジーと $K$-理論の間で同型を提供できるか？
• RQ4 代数のホモロジー的構造は、ベルンシュタイン分解とラングランズ分類の表現にどのように反映されるか？
• RQ5 臨戦的および離散系列表現は、周期的循環ホモロジーの計算においてどのような役割を果たすか？

主な発見

• パラメータが等しいアフィンヘッケ代数に対しては、チェーン・キャラクターを通じて周期的循環ホモロジーが代数の $K$-理論に同型である。
• この計算は、カジダンとルシュティグによって確立されたように、パラメータが等しい場合に、アフィンヘッケ代数の既約表現が対応するアフィンワイル群の既約表現と一対一対応することに依拠している。
• チェーン・キャラクターは、周期的循環ホモロジーと代数の $K$-理論の間の同型を誘導し、表現論的分類のホモロジー的実現を提供する。
• この手法は一般の正のパラメータへと拡張可能であるが、分類は部分的であり、ホモロジー計算はより複雑になる。
• 結果は、周期的循環ホモロジーが、離散系列や臨戦的表現の構造を含む、表現論的データの本質を捉えていることを示している。
• このフレームワークにより、ラングランズ分類がホモロジー的不変量の観点から解釈可能となり、非可換幾何学と $p$-進群上の調和解析を結びつける。