[論文レビュー] Periodic higher rank graphs revisited

Dilian Yang|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2014

Graph theory and applications参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Pを有限生成で消去可能なアーベルモノイドとするとき、P-グラフの引き戻しと押し出しを用いた周期的高ランクグラフを分析する体系的な枠組みを導入する。周期的P-グラフΛがその非周期的押し出しΛ/∼の引き戻しと同型であることを確立し、そのC*-代数が押し出しのC*-代数とC*(PerΛ)のテンソル積へ埋め込まれることを示し、これによりサイクリック部分代数Mが最大アーベル部分代数（MASA）であることを示している。

ABSTRACT

Let $P$ be a finitely generated cancellative abelian monoid. A $P$-graph $Λ$ is a natural generalization of a higher rank graph. A pullback of $Λ$ is constructed by pulling it back over a given monoid morphism to $P$, while a pushout of $Λ$ is obtained by modding out its periodicity $\PerΛ$, which is deduced from a natural equivalence relation on $Λ$. One of our main results in this paper shows that, for a class of higher rank graphs $Λ$, $Λ$ is isomorphic to the pullback of its pushout via a natural quotient map, and that its graph C*-algebra can be embedded into the tensor product of the graph C*-algebra of its pushout and $\ca(\PerΛ)$. As a consequence, its cycline C*-algebra generated by the standard generators with equivalent pairs is an abelian core (particularly a MASA). Along the way, we give an in-depth study on periodicity of $P$-graphs.

研究の動機と目的

• 周期的P-グラフの解析のための一般枠組みを構築すること。これはk-グラフや高ランクグラフを一般化する。
• P-グラフの周期性を商することで得られる押し出しを定義・研究し、非周期的商グラフを得ること。
• 元のP-グラフがその押し出しの引き戻しと同型であることを確立することで、周期的構造と非周期的構造を結びつけること。
• 高ランクグラフのサイクリックC*-部分代数MがそのC*-代数において最大アーベル部分代数（MASA）であることを証明し、[2]で提起された疑問に答えること。
• サイクリック部分代数Mが標準的対角代数とC*(PerΛ)のテンソル積と同型であり、忠実な条件付き期待値を許容することを示すこと。

提案手法

• モノイド準同型f:P→Qを用いてQ-グラフΓの引き戻しf*Γを構成し、[3]の引き戻し構成を一般化する。
• 同じ初期および終端次数を持つパスの間の同値関係∼をP-グラフΛに定義し、PerΛを同値パスの差の生成する群とする。
• Pの商写像qによる像を用いて、Λ/∼をq(P)-グラフとして商グラフとして構成する。
• 因数分解と次数比較の議論を用いて、適切な条件下で押し出しΛ/∼が非周期的であることを証明する。
• 同型Λ ≅ q*(Λ/∼)を確立し、元のグラフがその押し出しの引き戻しとして回復されることを示す。
• 埋め込み定理を用いて、C*(Λ)がC*(Λ/∼) ⊗ C*(PerΛ)へ埋め込まれることを示し、サイクリック部分代数Mの構造を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周期的P-グラフの構造は、その押し出しを引き戻しによって再構成可能か？
• RQ2 P-グラフの押し出しはどのような条件下で非周期的か？
• RQ3 高ランクグラフのサイクリック部分代数Mは、そのC*-代数において最大アーベル部分代数（MASA）か？
• RQ4 周期的P-グラフのC*-代数は、その押し出しのC*-代数とC*(PerΛ)のテンソル積へ埋め込めるか？
• RQ5 サイクリック部分代数Mの正確な構造は、標準的対角代数と周期的ユニタリとの間でどのように記述できるか？

主な発見

• 元のP-グラフΛはその押し出しΛ/∼の引き戻しと同型である。すなわちΛ ≅ q*(Λ/∼)であり、周期的構造と非周期的構造の双対性が確立される。
• グラフC*-代数C*(Λ)はテンソル積C*(Λ/∼) ⊗ C*(PerΛ)へ埋め込まれる。この埋め込みは一般には最適である。
• 同値なパスのペアによって生成されるサイクリック部分代数Mは、D_Λ ⊗ C*(PerΛ)と同型であり、ここでD_Λは標準的対角代数である。
• サイクリック部分代数MはC*(Λ)の最大アーベル部分代数（MASA）であり、C*(Λ)からMへの忠実な条件付き期待値が存在する。
• C*(Λ)における対角代数D_Λの可換化は正確にMである。これによりMがC*(Λ)のアーベルコアであることが確認される。
• Λが有限かつコファイナルであれば、C*(Λ/∼)は単純であり、C*(Λ)の中心はC*(W_h : h ∈ PerΛ)である。これは既知の単純性および中心に関する結果を一般化する。