[論文レビュー] Periodic homogenization using the Lippmann--Schwinger formalism

Sébastien Brisard, Frédéric Legoll|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2014

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 34被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、周期的均質化のためのリップマン＝シュヴィンガー形式について、数学的解析を提示し、それを積分方程式の漸近的整合性のあるガラーキン離散化に再定式化する。弱い仮定のもとで収束性を証明し、事前誤差推定値を提示する。3次元線形弾性問題への応用では、誤差がメッシュサイズ h に比例し、並列FFTベースの反復ソルバが効率的であることが示された。

ABSTRACT

When homogenizing elliptic partial differential equations, the so-called corrector problem is pivotal to compute the macroscale effective coefficients from the microscale information. To solve this corrector problem in the periodic setting, Moulinec and Suquet introduced in the mid-nineties a numerical strategy based on the reformulation of that problem as an integral equation (known as the Lippmann--Schwinger equation), which is then suitably discretized. This results in an iterative, matrix-free method, which is of particular interest for complex microstructures. Since the seminal work of Moulinec and Suquet, several variants of their scheme have been proposed. The aim of this contribution is twofold. First, we provide an overview of these methods, recast in the language of the applied mathematics community. These methods are presented as asymptotically consistent Galerkin discretizations of the Lippmann--Schwinger equation. The bilinear form arising in the weak form of this integral equation is indeed the sum of a local and a non-local term. We show that most of the variants proposed in the literature correspond to alternative approximations of this non-local term. Second, we propose a mathematical analysis of the discretized problem. In particular, we prove under mild hypotheses the convergence of these numerical schemes with respect to the grid-size. We also provide a priori error estimates on the solution. The article closes on a three-dimensional numerical application within the framework of linear elasticity.

研究の動機と目的

• 周期的均質化におけるリップマン＝シュヴィンガー法の統一的数学的枠組みを提供し、既存の数値スキームを応用数学の言語に再定式化すること。
• ムーリネック＝シュヴィニェークスキームのさまざまな変種の収束性を、リップマン＝シュヴィンガー積分方程式のガラーキン離散化として解釈することにより分析すること。
• 係数場の滑らかさに関する弱い仮定のもとで、離散解の事前誤差推定値を確立すること。
• FFTベースの反復ソルバを用いた3次元線形弾性問題への数値的応用により、理論的結果の妥当性を検証すること。
• 並列実装と性能解析を通じて、手法の効率性とスケーラビリティを示すこと。

提案手法

• 基準媒質のグリーン関数を用いて、周期的補正問題をリップマン＝シュヴィンガー積分方程式に再定式化する。
• 区分的定数の有限要素基底関数を用いたガラーキン法により積分方程式を離散化し、行列を直接保持しない構造の線形方程式系が得られる。
• 弱形式における非局所項を、さまざまな数値積分則を用いて近似することで、スキームの異なる変種に対応させる。
• スペクトル空間における畳み込み演算を効率的に計算するために、高速フーリエ変換（FFT）を用いる。
• 共役勾配法を用いて得られた線形方程式系を解き、行列ベクトル積をFFTを介して計算することで、行列を直接保持しない演算を実現する。
• 領域分割とMPIを用いた並列化により、複数プロセッサにわたる計算をスケーリングし、通信を最適化したデータ配分を実装する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 既存の周期的均質化のためのリップマン＝シュヴィンガースキームは、どのようにして積分方程式のガラーキン離散化として一貫して解釈できるか？
• RQ2 係数場に最小限の仮定をおく場合、これらのスキームの収束性はどのように保証されるか？
• RQ3 メッシュサイズ h の関数として、離散解の事前誤差推定値を導出できるか？
• RQ4 数値実験で観測された収束率は、理論的予測と一致するか？特に係数が区分的定数の場合に注目する。
• RQ5 この手法はどの程度効率的に並列化できるか？大規模なプロセッサ数へのスケーリングにおけるボトルネックは何か？

主な発見

• 提案されたスキームは弱い仮定のもとでグリッドサイズ h に関して収束し、ガラーキン定式化の下で厳密に証明された。
• 事前誤差推定値が確立され、誤差が Ch^δ（δ < 1）で有界であることが示された。数値結果では実際の収束率が h に近いことが示唆されている。
• 区分的定数の材料特性を有する3次元線形弾性問題において、有効せん断率 A^⋆_xyxy はグリッドの細分化に伴い増加し、512³ と 1024³ のグリッド間で2%の差が生じた。
• 有効係数における数値誤差は h に比例しており、理論的境界よりも収束率が速いことが示された。これは、係数場の滑らかさがより高い可能性を示唆している。
• 1回の共役勾配反復の計算コストは N³ log N に比例し、合計時間は N³ log N × 反復回数に比例する。N が十分に大きい場合、T / (N³ log N × N_iter) の比は定数に近づく。
• 並列性能は4プロセスまでに効率的（効率 ≈ 0.9）であるが、8プロセスでは低下（効率 ≈ 0.6）し、通信オーバーヘッドが中程度のプロセッサ数を超えたスケーリングを制限することが示された。