[論文レビュー] Periodic measures and partially hyperbolic homoclinic classes

Christian Bonatti, Jinhua Zhang|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 28被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、1次元中心を持つ$C^1$-一般の強力にトランスティーブな部分双曲的微分同相写像において、すべてのロバストサイクルによって生成される非双曲的エルゴード測度が、周期的測度によって近似可能であることを確立している。エルゴード測度の集合の閉包は、2つの可能な$s$-インデックスに対応する2つの凸集合の和集合であり、それらが非双曲的エルゴード測度の閉包にちょうど一致する。このことは、最小の葉層構造設定におけるその閉包の凸性を示している。

ABSTRACT

In this paper, we give a precise meaning to the following fact, and we prove it: $C^1$-open and densely, all the non-hyperbolic ergodic measures generated by a robust cycle are approximated by periodic measures. We apply our technique to the global setting of partially hyperbolic diffeomorphisms with one dimensional center. When both strong stable and unstable foliations are minimal, we get that the closure of the set of ergodic measures is the union of two convex sets corresponding to the two possible $s$-indices; these two convex sets intersect along the closure of the set of non-hyperbolic ergodic measures. That is the case for robustly transitive perturbation of the time one map of a transitive Anosov flow, or of the skew product of an Anosov torus diffeomorphism by rotation of the circle.

研究の動機と目的

• ロバストにトランスティーブな部分双曲的系における非双曲的エルゴード測度が、周期的測度によって近似可能かどうかを特定すること。
• このような系におけるエルゴード測度の集合の閉包の位相的および測度論的構造を調査すること。
• 強い安定および不安定な葉層構造が最小である場合に、エルゴード測度の閉包の凸性を確立すること。
• シグムンドの定理が一様に双曲的でない設定にまで拡張可能かどうかを検討すること。
• $C^1$-一般設定におけるホモクラインクラスにおけるエルゴード測度の閉包が凸であるかどうかという未解決問題を解消すること。

提案手法

• 非双曲的測度の軌道がロバストサイクルの近くを正確に追跡する周期的軌道を構成するために、[G1]のシャドーイング補題を用いる。
• 非双曲的エルゴード測度が周期的測度の閉包に属することを確認するため、[GIKN]の基準を適用する。
• ロバストサイクルから生じる周期的軌道の局所的解析を用いて、その双曲性と$s$-インデックスを制御する。
• 強い不安定方向における一様な拡張と安定多様体への制御された帰還を用いて、インデックス1の周期的軌道を構成する。
• 局所的不安定多様体上の反復的ダイナミクスを適用し、軌道セグメントが所定のシーケンスを制御された歪みでシャドーイングできることを保証する。
• 軌道セグメントの位相的制御とリャプノフ指数の推定値を組み合わせることで、目標測度が周期的測度によって近似可能であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ロバストにトランスティーブな部分双曲的微分同相写像における非双曲的エルゴード測度は、$C^1$-位相において周期的測度によって近似可能か？
• RQ2 強い安定および不安定な葉層構造が最小である場合、エルゴード測度の集合の閉包は凸か？
• RQ3 このような系におけるエルゴード測度の集合の閉包の構造は、$s$-インデックスの観点からどのように特徴づけられるか？
• RQ4 ロバストサイクルが存在する状況下で、インデックス1の周期的測度は非双曲的エルゴード測度をどのように近似するか？
• RQ5 動的システムに非双曲的不変測度が存在する場合、エルゴード測度の閉包の凸性は保たれるか？

主な発見

• $C^1$-一般のロバストにトランスティーブな部分双曲的微分同相写像で、1次元中心と最小の強い葉層構造を有する系において、エルゴード測度の集合の閉包は、2つの可能な$s$-インデックスに対応する2つの凸集合の和集合である。
• 2つの凸集合は、非双曲的エルゴード測度の集合の閉包にちょうど一致する。
• ロバストサイクルの近傍における任意の非双曲的エルゴード測度は、弱*極限として周期的測度の列の極限である。
• シャドーイングと[GIKN]の基準を組み合わせることで、非双曲的エルゴード測度の集合の閉包が凸であることが示された。
• インデックス1のエルゴード測度の集合は、すべてのエルゴード測度の閉包において稠密であり、それらの凸結合は周期的測度の集合の閉包に含まれる。
• 任意の2つの閉包内にあるエルゴード測度$\mu, \nu$に対して、線分$\alpha\mu + (1-\alpha)\nu$が閉包内に含まれる。これは、$\overline{\mathcal{M}^*(f)}$の凸性を証明する。