[論文レビュー] Periodic problem for the nonlinear Schroedinger equation

Vladimir Kotlyarov, Alexander Its|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2014

Differential Equations and Numerical Methods参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、非自己随伴ディラック作用素に適応された逆散乱理論を用いて、非線形シュレーディンガー方程式の周期的コーシー問題を構成的に解く手法を提示する。ハイペルエリプティックなリーマン面におけるリーマン・シータ関数を用いて、有限ギャップ初期データに対する明示的な準周期的解を導出しており、ポテンシャルおよびその時間的・空間的進化を明確に定式化した完全な解法フレームワークを確立している。

ABSTRACT

The paper offers the method of discovering of some class of solutions for the nonlinear Schroedinger equation. An algorithm of constructive solving of the Cauchy periodic problem with a finite-gap initial condition was also obtained.

研究の動機と目的

• 有限ギャップ初期データを有する非線形シュレーディンガー方程式の周期的コーシュー問題を、構成的かつ明示的に解くための手法を開発すること。
• 焦点型非線形シュレーディンガー方程式に関連する非自己随伴ディラック作用素へ逆散乱理論を拡張すること。
• リーマン・シータ関数およびアーベル積分を用いて、ポテンシャル $ u(x,t) $ の明示的・閉形式の解を導出すること。
• モノドロミー行列のダイナミクスとスペクトルデータを用いて、解の時間的・空間的進化を確立すること。
• 多項式的制約およびリーマン面上の複素パラメータを用いて、準周期的解の完全なパrametrizationを提供すること。

提案手法

• 非線形シュレーディンガー方程式 $ iu_t + u_{xx} + 2|u|^2u = 0 $ を、非自己随伴ディラック作用素 $ L = J\frac{d}{dx} + Q $ のゼロ曲率条件として定式化し、$ J = \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix} $ および $ Q = \begin{pmatrix} 0 & iv \\ i\bar{v} & 0 \end{pmatrix} $ を用いる。
• NLS方程式を満たす $ u $ の下で $ L - zI $ と可換となる補助作用素 $ M_k $ ($ k=1,2 $) を導入し、モノドロミー行列の進化方程式を導出可能にする。
• 時間および位相シフトの微分を含む微分方程式 (2.4) を用いてモノドロミー行列の進化を導出し、解のダイナミクスをスペクトルデータと関連付ける。
• モノドロミー行列の成分 $ g, f, \psi, \varphi $ を導入し、$ t $ および $ x_0 $ におけるその進化を記述する連立常微分方程式 (2.5)–(2.6) を導出する。ここで $ v = v(x_0,t) $ である。
• genus $ n $ のハイペルエリプティックなリーマン面 $ \sigma $ 上で、$ \mu_k(x,t) $ および $ \mu_k(0,t) $ をそれぞれ零点および極として指定した、単価かつ正則な解 $ \psi(x,z) $ を構成する。
• 解 $ u(x,t) $ をシータ関数を用いて表現する：$ |u(x,t)|^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} \ln \theta(g(x,t) + r) + 2R_1 $ であり、$ g(x,t) $ はアーベル積分によって定義され、$ r $ は定数ベクトルである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 焦点型非線形シュレーディンガー方程式の周期的コーシー問題は、有限ギャップ初期データに対して、どのように構成的に解くことができるか？
• RQ2 非自己随伴ディラック作用素は、NLS方程式の逆散乱フレームワークにおいて、どのように機能するか？
• RQ3 モノドロミー行列およびその進化は、解の時間的・空間的ダイナミクスをどのように支配するか？
• RQ4 リーマン・シータ関数およびアーベル積分を用いて、どのように準周期的解を明示的にパラメータ化できるか？
• RQ5 スペクトルデータ（固有値、分岐点）は、初期ポテンシャルおよびその進化と、どのように関連づけられるか？

主な発見

• 解 $ u(x,t) $ は $ u(x,t) = u(0,0) \frac{J_1(x,t)}{J_1(0,0)} \exp(-iEx + iN_0 t) $ として明示的に与えられ、ここで $ J_1 $, $ E $, および $ N_0 $ はスペクトルデータから導出される。
• 解の絶対値は $ |u(x,t)|^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} \ln \theta(g(x,t) + r) + 2R_1 $ であり、$ R_1 $ は分岐点 $ E_j $ に依存する定数である。
• 解の時間的進化は定数 $ N_0 = 4K_2 - 2\sum_{j=1}^{2n+2} E_j^2 - 4R_1 $ によって支配され、$ x $ に依存しないため、準周期性が保証される。
• 解 $ u(x,t) $ は多項式関係 $ \sum_{j=1}^{n+1} (z - E_j)(z - \bar{E}_j) - |u(0,0)|^2 \prod_{j=1}^n (z - \mu_j(0,0))(z - \bar{\mu}_j(0,0)) = f^2(z) $ によって完全に決定され、ここで $ f(z) $ は次数 $ n+1 $ の実数係数多項式である。
• スペクトル問題 $ L\psi = z\psi $ の解 $ \psi(x,z) $ は、リーマン面 $ \sigma $ 上で単価かつ正則であり、それぞれ $ \mu_k(x,t) $ および $ \mu_k(0,t) $ を零点および極として持つ。
• 関数 $ \varphi(x,z) = [u(x,t)]^{-1/2} [u(0,0)]^{1/2} \psi_1(x,z) $ は、$ \theta(U(z) - g(x,t)) $ を含むシータ関数表現を有し、解を代数的・幾何的データと結びつける。