[論文レビュー] Periodic, Quasi-Periodic, Almost Periodic, Almost Automorphic, Birkhoff Recurrent and Poisson Stable Solutions for Stochastic Differential Equations

David Cheban, Zhenxin Liu|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2017

advanced mathematical theories参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、時間的にポisson安定な係数を備えた半線形確率微分方程式に対して、周期的、ほぼ周期的、ほぼ自己同型、バーキホフ再帰的など、ポアソン安定な解の存在および安定性を確立する。線形作用素の指数的安定性と非線形項の小ささという条件下で、解が係数の再帰的性質を継承することを証明し、シャチェルバフの類似性原理を確率的設定に拡張し、分布および二乗平均の意味で厳密な結果を得た。

ABSTRACT

The paper is dedicated to studying the problem of Poisson stability (in particular stationarity, periodicity, quasi-periodicity, Bohr almost periodicity, Bohr almost automorphy, Birkhoff recurrence, almost recurrence in the sense of Bebutov, Levitan almost periodicity, pseudo-periodicity, pseudo-recurrence, Poisson stability) of solutions for semi-linear stochastic equation $$ dx(t)=(Ax(t)+f(t,x(t)))dt +g(t,x(t))dW(t)\quad (*) $$ with exponentially stable linear operator $A$ and Poisson stable in time coefficients $f$ and $g$. We prove that if the functions $f$ and $g$ are appropriately "small", then equation $(*)$ admits at least one solution which has the same character of recurrence as the functions $f$ and $g$.

研究の動機と目的

• 決定論的方程式におけるシャチェルバフの再帰性に関する類似性原理を確率微分方程式に拡張すること。
• 確率方程式における係数と同じ再帰的性質（例：周期的、ほぼ周期的、ほぼ自己同型）を持つ解の存在を調査すること。
• 時間依存係数 f と g の再帰的型が解に継承されるための条件を確立すること。
• 二乗平均および分布的意味での解の有界性、散逸性、漸近的安定性を分析すること。
• 非マルコフ的かつ非定常係数を有する確率系において、所定の再帰的性質を持つ一意な有界解が存在するための十分条件を提示すること。

提案手法

• 線形作用素 A が指数的安定な半群を生成し、係数 f(t,x) と g(t,x) が時間的にポアソン安定である半線形確率微分方程式を定式化する。
• 連続関数空間における再帰的性質の分析のため、C(ℝ,X) 上の距離 d を用いて関数の収束を定義する。
• 再帰的性質による関数の類似性の概念を用い、シャチェルバフの枠組みを確率方程式へ拡張する。
• 収縮法と安定性推定を用いて、L² および分布的意味での有界解の存在と一意性を確立する。
• f と g にリプシッツ条件および全般的な線形成長条件を課し、SPDE の L²(ℙ, H) での収束を保証するため、一様可積分性（条件 C3）を検証する。
• 散逸性および収束に関する定理を適用し、解の二乗平均意味での大域的漸近的安定性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間的にポアソン安定な係数を有する確率微分方程式が、係数と同じ再帰的性質を持つ解を有するための条件は何か？
• RQ2 シャチェルバフの類似性原理は、一般の再帰的型を有する決定論的方程式から確率微分方程式へ拡張可能か？
• RQ3 このような方程式において、二乗平均および分布的意味で有界で一意的かつ漸近的に安定な解が存在するための条件は何か？
• RQ4 周期的、ほぼ周期的、ほぼ自己同型、バーキホフ再帰的といった再帰的型が、非自己同次的かつ非定常係数を有する確率方程式の解にどのように保存されるか？
• RQ5 線形作用素 A の指数的安定性が、解の再帰的構造の保存に果たす役割は何か？

主な発見

• 線形方程式 dx(t) = (Ax(t) + f(t))dt + g(t)dW(t) は、f と g が有界かつポアソン安定である限り、f と g と同じ再帰的性質を持つ一意な有界解 φ を有する。
• 半線形方程式 dx(t) = (Ax(t) + F(t,x(t)))dt + G(t,x(t))dW(t) に対しては、リプシッツ条件および小さな非線形性の下で、一意な有界解 ξ が存在し、F と G の再帰的型を継承する。
• F と G が共にリーマン・アラーム・ほぼ周期的である場合、解は分布的意味でレヴィタン・アラーム・ほぼ周期的である。
• 両方の関数が共に準周期的である場合、解は分布的意味で準周期的である。
• すべての L² 初期値を有する解は、十分に長い時間後には定数で有界であることが、補題 5.3 によって示された。
• Lipschitz 定数および一様可積分性に関する与えられた条件下で、定理 5.4 により解は二乗平均意味で大域的漸近的安定であることが確立された。
• 確率的熱方程式およびスカラー SDE への応用により理論的結果が確認され、明示的な例によって、分布的意味でリーマン・アラーム・ほぼ周期的および準周期的解の存在が示された。