[論文レビュー] Periodic Random Attractors for Stochastic Navier-Stokes Equations on Unbounded Domains

Bixiang Wang|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2012

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 18被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、非有界領域における時間依存の決定的外力を持つ2次元確率的ナビエ＝ストークス方程式に対して、温度付きランダム引き戻し吸引点の存在と一意性を確立する。非 autonomousおよびランダム力学系理論を組み合わせ、非コンパクトなソボレフ埋め込みを克服するためのボールのエネルギー方程式法を用いる。外力が周期的である場合、吸引点も時間的に周期的であることが証明される。

ABSTRACT

This paper is concerned with the asymptotic behavior of solutions of the two-dimensional Navier-Stokes equations with both non-autonomous deterministic and stochastic terms defined on unbounded domains. We first introduce a continuous cocycle for the equations and then prove the existence and uniqueness of tempered random attractors. We also characterize the structures of the random attractors by complete solutions. When deterministic forcing terms are periodic, we show that the tempered random attractors are also periodic. Since the Sobolev embeddings on unbounded domains are not compact, we establish the pullback asymptotic compactness of solutions by Ball's idea of energy equations.

研究の動機と目的

• 非有界領域における非 autonomousな決定的項および確率的項を有する2次元確率的ナビエ＝ストークス方程式に対して、温度付きランダム引き戻し吸引点の存在と一意性を確立すること。
• 非有界領域における非コンパクトなソボレフ埋め込みの課題に対処するため、ボールのエネルギー方程式法を適応し、引き戻し漸近的コンパクト性を証明すること。
• 温度付き完全解を用いて吸引点の構造を特徴付けること。
• 決定的外力項が時間的に周期的である場合、吸引点の周期性を調査すること。
• 非 autonomousな決定的項と確率的ノイズの両方を含む引き戻し吸引点理論を、1つは非 autonomousな決定的項、もう1つは確率的ノイズのパラメータ空間を備えた2つのパrametric空間に定義されたランダム力学系へと拡張すること。

提案手法

• 非 autonomous外力の時間シフトを表す $\Omega_1 = \mathbb{R}$ とウィーナー過程の確率空間 $\Omega_2$ の2つのパrametric空間上で、確率的ナビエ＝ストークス方程式に対する連続なコサイクルを定義する。
• ボールが最初に導入したエネルギー方程式法を用い、非有界領域におけるコンパクトでないソボレフ埋め込みの欠如にもかかわらず、引き戻し漸近的コンパクト性を確立する。
• エネルギー空間 $H = L^2(Q)$ における解の一様推定を導出し、温度付きランダム吸引集合を構成する。
• 初期データが温度付き集合に属する解の列が部分列に沿って収束することを示すことにより、$\mathcal{D}$-引き戻し漸近的コンパクト性を証明する。
• 完全解を用いて吸引点の構造を特徴付ける：$\mathcal{A}(\tau, \omega) = \{ \psi(0, \tau, \omega) \mid \psi \text{ は } \mathcal{D}\text{-完全軌道} \}$。
• 外力 $f$ が $T$-周期的である場合、コサイクル $\Phi$ も $T$-周期的であり、吸引点がこの周期性を継承することを示すことにより、吸引点の周期性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非有界領域における時間依存の決定的外力付き2次元確率的ナビエ＝ストークス方程式に対して、温度付きランダム引き戻し吸引点は存在するか？
• RQ2 非有界領域による非コンパクトなソボレフ埋め込みのため、解の引き戻し漸近的コンパクト性は確立可能か？
• RQ3 ランダム吸引点の構造は何か？また、完全解を用いて特徴付け可能か？
• RQ4 決定的外力項 $f$ が時間的に周期的である場合、対応するランダム吸引点も周期的か？
• RQ5 非有界領域における非 autonomous 決定的項および確率的項を有する系に対して、引き戻し吸引点理論はどのように拡張可能か？

主な発見

• 非有界領域における確率的ナビエ＝ストークス方程式に関連する連続コサイクルは、空間 $H = L^2(Q)$ において一意の $\mathcal{D}$-引き戻し吸引点を有する。
• 吸引点はすべての $\mathcal{D}$-完全軌道の和集合として特徴付けられる：$\mathcal{A}(\tau, \omega) = \bigcup_{B \in \mathcal{D}} \Omega(B, \tau, \omega) = \{ \psi(0, \tau, \omega) \mid \psi \text{ は } \mathcal{D}\text{-完全解} \}$。
• 決定的外力 $f$ が周期 $T$ で周期的である場合、吸引点 $\mathcal{A}$ も同じ周期 $T$ で周期的である。
• 吸引点の存在は、温度付きランダム吸引集合と $\mathcal{D}$-引き戻し漸近的コンパクト性の組み合わせにより証明され、ボールのエネルギー方程式法を用いて示される。
• 吸引点は一意的かつ可測であり、理論は非 autonomous 決定的項と乗法的ストラトノビッチノイズを有する系へも適用可能である。
• 本研究の結果は、時間依存外力付き非コンパクトなランダム力学系に対する引き戻し吸引点理論を非有界領域へと拡張し、文献における空白を埋める。