[論文レビュー] Periods and mixed motives

A. B. Goncharov|ArXiv.org|Feb 17, 2002

Advanced Mathematical Identities参考文献 15被引用数 53

ひとこと要約

本稿は、反復積分および多重多対数関数から生じる周期のためのフレーム付き混合モチーフを構成し、特殊化定理を用いてモチーフ的二重シャッフル関係式を証明する。また、多重多対数関数の逆数公式のモチーフ的バージョンを確立し、ガロア作用およびモジュラー幾何と関連付ける。

ABSTRACT

We define motivic multiple polylogarithms and prove the double shuffle relations for them. We use this to study the motivic fundamental group of the multiplicative group - {N-th roots of unity} and relate it to geometry of modular varieties. In particular we get new information about the actionof the Galois group on the pro-l completion of the above fundamental group. This paper is the second part of "Multiple polylogarithms and mixed Tate motives" math.AG/0103059

研究の動機と目的

• モチーフ的多重多対数関数を定義し、混合モチーフの文脈でそれらの二重シャッフル関係式を証明すること。
• 反復積分および相対的サイクルを用いて収束する周期に対応するフレーム付き混合モチーフを構成すること。
• 統合データの変形におけるフレーム付きモチーフの一貫性を保証する特殊化定理を確立すること。
• フレーム付き混合ターンモチーフを用いて、多重多対数関数のモチーフ的逆数公式を証明すること。
• モチーフ的基本群 $\mathbb{G}_m - \mu_N$ がモジュラー多様体および多重多対数関数値へのガロア作用とどのように関係するかを明らかにすること。

提案手法

• 複素代数的多様体 $X$、除数 $A$、$B$、および対数形式 $\omega_A$ から、その周期が積分 $\int_{\triangle_B} \omega_A$ に一致するフレーム付き混合モチーフ $m(X;[ ho_A];[ riangle_B])$ を構成する。
• 特殊化定理を適用する：$\omega_{A(\varepsilon)}$ および $\triangle_{B(\varepsilon)}$ が元のデータの摂動である場合、$\varepsilon=0$ での特殊化により元のフレーム付きモチーフが得られる。
• 発散積分に対しては $\log \varepsilon$ の定数項による正則化を用い、$\mathrm{I}$-および $\mathrm{Li}$-シャッフル関係式の両方と整合性を保つ。
• ユニポテンツなホッジ＝ターン構造の変形における $\mathrm{Sp}_{\partial/\partial\varepsilon}$ 操作を用いて、モチーフ的多重多対数関数 $\mathrm{Li}^\mathcal{M}_{n_1,\dots,n_m}(x_1,\dots,x_m)$ を定義する。
• 制限コプロダクト $\Delta'$ およびモチーフ的ベルヌーイ元の性質を用いて、モチーフ的逆数公式 $\mathrm{Li}^\mathcal{M}(x|t) - \mathrm{Li}^\mathcal{M}(x^{-1}|-t) = -B^\mathcal{M}(x|t)$ を確立する。
• 特殊化定理を用いて、異なる構成が同一の同値類に統合されることを示し、フレーム付きモチーブの同値類が周期によって一意に定まることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 収束する相対的サイクル上での積分によって定義される周期のためのフレーム付き混合モチーブを、どのように体系的に構成できるか。
• RQ2 特殊化定理は、統合データの変形におけるフレーム付きモチーブの一貫性を保証するために果たす役割は何か。
• RQ3 モジュラー多様体の幾何的・位相的データから、どのようにモチーフ的二重シャッフル関係式が生じるか。
• RQ4 古典的な多対数関数の逆数公式を、フレーム付き混合ターンモチーブの枠組み内でモチーフ的恒等式に上げることができるか。
• RQ5 モチーフ的基本群 $\pi_1^\mathcal{M}(\mathbb{G}_m - \mu_N)$ の構造は何か。また、その $\ell$-進実現におけるガロア作用は、どのように関連するか。

主な発見

• 技術的条件のもとで、$A$ および $B$ に対して、収束積分 $\int_{\triangle_B} \omega_A$ を周期とするフレーム付き混合モチーブが構成される。
• 特殊化定理により、摂動されたデータ族に対応するフレーム付きモチーブは、$\varepsilon = 0$ で元のフレーム付きモチーブに特殊化され、同値類が保存される。
• 特殊化定理を用いて、モチーフ的二重シャッフル関係式が証明され、異なる構成が単一の同値類のフレーム付き対象に統合される。
• モチーフ的逆数公式 $\mathrm{Li}^\mathcal{M}(x|t) - \mathrm{Li}^\mathcal{M}(x^{-1}|-t) = -B^\mathcal{M}(x|t)$ が確立され、ここで $B^\mathcal{M}(x|t)$ はモチーフ的ベルヌーイ級数である。
• モチーフ的ベルヌーイ元 $B^\mathcal{M}_n$ はフレーム付き混合ターンモチーブとして定義され、$B^\mathcal{M}_1 = \log^\mathcal{M}(-1)$ および $B^\mathcal{M}_{2n} = -2(2n)! \zeta^\mathcal{M}(2n)$ を満たし、$\Delta'(B^\mathcal{M}_n) = 0$ を満たす。
• モチーフ的基本群 $\pi_1^\mathcal{M}(\mathbb{G}_m - \mu_N)$ はモジュラー多様体 $Y_1(m;N)$ の幾何と関係し、これらの構成を通じてその $\ell$-進実現におけるガロア作用が研究される。