[論文レビュー] Permanents in linear optical networks

Stefan Scheel|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2004

Photonic and Optical Devices被引用数 56

ひとこと要約

本論文は、線形光学的ネットワークと行列のパーマネントの間の根本的な関係を確立し、ユニタリ変換を受けた多モード光子フォック状態の行列要素が、ユニタリ行列のパーマネントを介して直接計算できることを示している。主な貢献は、パーマネント計算の#P完全性により、このような計算が一般に計算的に困難であるということであり、量子力学的アプローチにより、任意のユニタリ行列のパーマネントが複素平面全体の単位円板を覆うという結果の導出がより簡潔に行えることである。

ABSTRACT

We develop an abstract look at linear optical networks from the viewpoint of combinatorics and permanents. In particular we show that calculation of matrix elements of unitarily transformed photonic multi-mode states is intimately linked to the computation of permanents. An implication of this remarkable fact is that all calculations that are based on evaluating matrix elements are generically computationally hard. Moreover, quantum mechanics provides simpler derivations of certain matrix analysis results which we exemplify by showing that the permanent of any unitary matrix takes its values across the unit disk in the complex plane.

研究の動機と目的

• 線形光学的ネットワークと行列のパーマネントを結ぶ組合せ的枠組みを確立すること。
• 多モードフォック状態における行列要素の計算が、パーマネント評価のため計算的に困難であることを示すこと。
• 量子力学的推論が、ユニタリ行列のパーマネントの性質の導出を簡略化できることを示すこと。
• パーマネントを用いた多モード光子状態のユニタリ変換の簡潔な形式的記法を提供すること。

提案手法

• 行列のパーマネントを中心的な数学的対象とし、その定義をすべての置換における行列要素積の和として行う。
• 行列Λの部分行列を表す記法Λ[k₁,…,kₘ|l₁,…,lₘ]を導入し、パーマネント計算に必要なブロックを抽出する。
• パーマネントを用いて、線形光学的ネットワーク内での多モードフォック状態のユニタリ発展を記述する。
• ランダムユニタリ行列の平均を取ることで、線形光学的ネットワークのエンタングルメントパワーの式を導出する。この際、係数とその複素共役の積を含む積分に帰着する。
• ユニタリ群上での角度および超球面積分を実行し、ランダムな初期状態の平均を取る。その結果、デルタ関数および正規化係数を含む式が得られる。
• ∫|cᵢ|⁴ dμ = 3/((N+1)(N+3)) および ∫|cᵢ|²|cⱼ|² dμ = 1/((N+1)(N+3)) という結果を用いて、平均化された行列要素を簡略化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユニタリ変換を受けた多モード光子フォック状態の行列要素は、ユニタリ行列のパーマネントとどのように関係しているか？
• RQ2 このような行列要素の計算がなぜ計算的に困難なのか？
• RQ3 ユニタリ行列のパーマネントは複素平面でどのように分布しているか？
• RQ4 量子力学的推論は、ユニタリ行列のパーマネントの性質の導出を簡略化できるか？
• RQ5 パーマネントを用いて、線形光学的ネットワークのエンタングルメントパワーをどのように計算できるか？

主な発見

• ユニタリ変換を受けた多モードフォック状態の行列要素は、ユニタリ変換行列から導かれる部分行列のパーマネントとして直接計算可能である。
• このような行列要素の計算は、パーマネントが#P完全であるため、一般に計算的に困難である。これは、多項式時間で動作する古典的アルゴリズムが存在しないことを示唆する。
• 任意のユニタリ行列のパーマネントは、複素平面全体の単位円板を覆う値を取り得る。この結果は、量子力学的推論によりより簡潔に導出可能である。
• ランダムな初期状態の平均を取ることで、特定のビームスプリッタ行列の部分行列のパーマネントの絶対値のみを含む式が得られる。
• 平均化された係数の正規化係数は、i ≠ j のとき ∫|cᵢ|⁴ dμ = 3/((N+1)(N+3)) および ∫|cᵢ|²|cⱼ|² dμ = 1/((N+1)(N+3)) である。
• 平均化されたエンタングルメントパワーの最終式は、|per Λ[(1^{m₁+m₂−k₂}, 2^{k₂}) | (1^{m₁}, 2^{m₂})]| の形のパーマネントの四次関数にのみ依存する。