[論文レビュー] Permutations avoiding a pattern from $S_k$ and at least two patterns from $S_3$

Toufik Mansour|ArXiv.org|Jul 31, 2000

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 4被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、$S_k$ からのパターン（$k \geq 3$）と $S_3$ からの少なくとも2つのパターンを回避する $S_n$ 内の順列の数について、明示的な公式と母関数を提供する。$T \subseteq S_3$ のサイズに基づくケース解析を通じて、母関数と基数の閉形式を導出し、$|T| \geq 2$ および $\tau \in S_4$ に対して完全なウィルフ分類を提示する。その結果、このような順列の数はしばしば定数、線形、フィボナッチ、または有理母関数のパターンを示すことが判明した。

ABSTRACT

In this paper, we find explicit formulas or generating functions for the cardinalities of the sets $S_n(T,τ)$ of all permutations in $S_n$ that avoid a pattern $τ\in S_k$ and a set $T$, $|T|\geq 2$, of patterns from $S_3$. The main body of the paper is divided into three sections corresponding to the cases $|T|=2,3$ and $|T|\geq 4$. As an example, in the fifth section, we obtain the complete classification of all cardinalities of the sets $S_n(T,τ)$ for $k=4$.

研究の動機と目的

• $T \subseteq S_3$、$|T| \geq 2$、$\tau \in S_k$（$k \geq 3$）であるとき、$T$ のすべてのパターンを回避する $S_n(T,\tau)$ の正確な基数を特定すること。
• 特に $\tau \in S_4$ の場合に、ウィルフ同値性に基づいてすべてのこのような回避集合を分類し、ウィルフクラスの完全な列挙を提供すること。
• 再帰的構造と行列式の恒等式を用いて、$|S_n(T,\tau)|$ の列挙のための明示的な母関数を導出すること。
• $|T| \geq 4$ の場合のウィルフ分類を解決し、このような順列の数が定数または簡単な閉形式に従うことを示すこと。

提案手法

• $\alpha \in S_n(T,\tau)$ 内の最大要素 $n$ の位置に基づく再帰的分解を用い、$a_\tau(n) = |S_n(T,\tau)|$ の再帰的関係を導出する。
• Lemma 1 に示される行列式の恒等式を適用し、母関数 $a_\tau(x)$ を、$f_d(x) = \frac{1-x}{1-2x+x^d}$ および $g_d(x) = \frac{x^d}{1-2x+x^d}$ を含む要素を持つ下ヒルベルト行列の行列式として表現する。
• $T \subseteq S_3$ で $|T| = 2,3$ の各ケースについて、$\tau \in S_k(T)$ の構造を特徴づけ、$\tau$ が単調減少列の連結である必要があることを示す。
• $|T| \geq 4$ の場合、シモインとスミスの結果（$|S_n(T)| \in \{0,2\}$）を活用し、$T$ に $123$ または $321$ が含まれるかのケース分析を実施し、クロネッカーのデルタを含む式を導出する。
• 再帰的関係を行列方程式に翻訳し、行列式展開によって母関数の式を導出する。
• 表1における分類は、すべてのケースの結果を統合し、異なる $T$ と $\tau$ 間での基数を比較することで構築される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられたパターン $\tau \in S_k$ と $|T| \geq 2$ である $T \subseteq S_3$ を回避する $S_n$ 内の順列の正確な数は何か？
• RQ2 $|S_n(T,\tau)|$ の母関数は、$\tau$ の構造と $T$ の選択にどのように依存するか？
• RQ3 $\tau \in S_4$ の場合、ペア $(T,\tau)$ の完全なウィルフクラスは何か？ また、その基数はどのように変化するか？
• RQ4 $|S_n(T,\tau)|$ は、すべての such $T$ と $\tau$ に対して閉形式の式または有理母関数として表現可能か？
• RQ5 $|T| \geq 4$ の場合、$|S_n(T,\tau)|$ の挙動は何か？ また、$T$ に $123$ または $321$ が含まれるかどうかにどのように依存するか？

主な発見

• $T = \{123,132\}$ および $\tau \in S_k(T)$ の場合、母関数 $a_\tau(x)$ は、$f_{r_i}(x)$ と $g_{r_i}(x)$ を要素とする行列の行列式として与えられる。ここで $f_d(x) = \frac{1-x}{1-2x+x^d}$ および $g_d(x) = \frac{x^d}{1-2x+x^d}$ である。
• $T = \{123,231,312\}$ のとき、すべての $n \geq k$ および $\tau = (r,\dots,2,1,k,\dots,r+1)$（$1 \leq r \leq k-1$）に対して、$|S_n(T,\tau)| = k-1$ である。
• $T = \{132,213,231\}$ のとき、すべての $n \geq k$ および $\tau = (k,\dots,r+1,1,2,\dots,r)$（$1 \leq r \leq k$）に対して、$|S_n(T,\tau)| = k-1$ である。
• $|T| \geq 4$ の場合、$T$ に $123$ も $321$ も含まれない限り、$|S_n(T,\tau)| = 2 - \delta_{\tau,(1,2,\dots,k)} - \delta_{\tau,(k,\dots,2,1)}$ であり、両方とも含まれる場合は $0$ である。
• 本稿は、$T \subseteq S_3$ および $\tau \in S_4$ の場合の22のウィルフクラスを完全に分類し、表1に要約している。
• $T = \{123,132,213,231,1234\}$ の場合、すべての $n \geq k$ に対して $|S_n(T,\tau)| = 2$ であり、$T = \{123,132,213,231,4312\}$ の場合、$1$ である。