[論文レビュー] Perron's method for stochastic viscosity solutions

Benjamin Seeger|arXiv (Cornell University)|May 3, 2016

Stochastic processes and financial applications被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、滑らかなハミルトニアンと単一の実数値経路を伴う完全非線形2階確率偏微分方程式に対して、Perronの方法を適用して確率的バナッハ解を構成する。この手法は、ハミルトン＝ジャコビ方程式における有限速度伝播性質を利用しており、弱い正則性条件のもとで解の存在と安定性を保証する。

ABSTRACT

In this paper we use Perron's method to construct stochastic viscosity solutions of fully nonlinear second order SPDEs. The result holds for smooth Hamiltonians and for a single, real-valued path, and relies on the finite speed of propagation property for solutions of Hamilton-Jacobi equations.

研究の動機と目的

• 滑らかなハミルトニアンを伴う完全非線形2階SPDEに対して、確率的バナッハ解の存在を確立すること。
• 元来確定的PDEに用いられるPerronの方法を、単一の実数値経路を伴う確率的設定に拡張すること。
• ハミルトン＝ジャコビ方程式における有限速度伝播性質を用いて、解の安定性と適切に定義された性質を保証すること。
• マルコフ的または拡散型の仮定を必要としない、確率的バナッハ解の構成的枠組みを提供すること。

提案手法

• Perronの方法は、有限速度伝播性質を用いて、サブ・ソリューションとスーパ・ソリューションを構築することで、確率的PDEに適応される。
• この手法は、滑らかなハミルトニアンと単一の実数値駆動経路の存在に依存しており、確率積分やマルティングール測度を回避する。
• 比較原理を用いてサブ・ソリューションとスーパ・ソリューションを定義し、上界包絡線がバナッハ解であることを保証する。
• 有限速度伝播性質により、解の局所的挙動が有限速度で伝播するため、安定性と存在性が保証される。
• 点毎の下界と上界（それぞれサブ・ソリューションとスーパ・ソリューションの点毎の下界と上界）に基づく構成により、Perronの包絡線によって解が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Perronの方法を、完全非線形SPDEの確率的バナッハ解を構成するために拡張できるか？
• RQ2 ハミルトン＝ジャコビ方程式における有限速度伝播性質は、確率的バナッハ解の存在をどのように支援するか？
• RQ3 ハミルトニアンおよび経路構造にどのような条件が、解の安定性と適切に定義された性質を保証するか？
• RQ4 完全な確率積分を必要としない単一の実数値経路で、確率的バナッハ解を定義できるか？

主な発見

• 本論文は、滑らかなハミルトニアンを伴う完全非線形SPDEに対して、Perronの方法を用いて確率的バナッハ解を成功裏に構成した。
• 単一の実数値経路の仮定のもとで解が存在し、確率積分やマルティングール測度を必要としない。
• 有限速度伝播性質により、局所的解の挙動が即座に伝播しないことが保証され、安定性と比較原理が成立する。
• 構成された解は、サブ・ソリューションとスーパ・ソリューションのPerron包絡線として、確率的バナッハ解の定義を満たす。