[論文レビュー] Backward stochastic differential equations under super linear G-expectation and associated Hamilton-Jacobi-Bellman equations

Yuhong Xu|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 27被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、超線形G期待値の下で後向き確率微分方程式（BSDEs）の存在および一意性を確立し、ハミルトニアン・ヤコビ・ベルマン（HJB）方程式の連続的解釈を提供する。特にブラック・ショールズ・バレンブラット方程式を含む、モデル不確実性下でのHJB方程式の粘性解に対して、確率的表現が得られる。さらに、非支配的確率測度を介してG-BSDEsと確率的制御問題を結びつけ、不確実性駆動モデルにおける新たなフェインマン＝カープ型接続を提示する。

ABSTRACT

This paper first studies super linear G-expectation. Uniqueness and existence theorem for backward stochastic differential equations (BSDEs) under super linear expectation is established to provide probabilistic interpretation for the viscosity solution of a class of Hamilton-Jacobi-Bellman equations, including the well known Black-Scholes-Barrenblett equation, arising in the uncertainty volatility model in mathematical finance. We also show that BSDEs under super linear expectation could characterize a class of stochastic control problems. A direct connection between recursive super (sub) strategies with mutually singular probability measures and classical stochastic control problems is provided. By this result we give representation for solutions of Black-Scholes-Barrenblett equations and G-heat equations.

研究の動機と目的

• モデル不確実性下でハミルトニアン・ヤコビ・ベルマン（HJB）方程式を解くための確率的枠組みを、超線形G期待値の下での後向き確率微分方程式（BSDEs）を用いて構築すること。
• 超線形G期待値と、特に互いに特異な確率測度を介した確率的制御問題との関係を明確にすること。
• G-BSDEsを用いてブラック・ショールズ・バレンブラット方程式およびG-熱方程式の解に対して、新たなフェインマン＝カープ表現を提供すること。
• 特に、二次変動の準確確実微分可能性に関して、超線形期待値下でのGブラウン運動およびG正規分布の性質を調査すること。
• 超線形G期待値が、非線形期待値および不確実性の定量的評価の理解を強化するための、劣線形G期待値の補完的ツールとして機能することを示すこと。

提案手法

• 超線形G期待値を、リスク中立的確率測度の集合上の点별最小値として定義する：$\mathbb{E}_* [\cdot] = \inf_{P \in \mathcal{P}} \mathbb{E}_P [\cdot]$。
• ドリフト、拡散、および二次変動成分を有する前向き拡散過程$X_t^{t,x}$に駆動される後向き確率微分方程式（G-BSDEs）を定義する。
• 容量に基づく収束および支配収束定理を用いて、超線形期待値の下でG-BSDEsの解の存在および一意性を確立する。
• 動的計画法を適用し、G-BSDEsと確率的制御問題の値関数を結びつける。
• 表現$\mathbb{E}_* [X] = \inf_P \mathbb{E}_P [X]$を用いて、超戦略を互いに特異な測度上の最適制御問題として解釈する。
• ボレル＝カンテーリの補題および容量収束を用いて、超線形G期待値下での期待値の収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超線形G期待値の下での後向き確率微分方程式は、2階HJB方程式のクラスに対して確率的解を提供できるか？
• RQ2 超線形G期待値は、互いに特異な確率測度を有する確率的制御問題とどのように関係しているか？
• RQ3 超線形期待値の文脈において、Gブラウン運動およびその二次変動の役割は何か？
• RQ4 収束が準確確実的であるが容量収束ではない場合、支配収束定理は超線形G期待値下でも成り立つか？
• RQ5 フェインマン＝カープ公式は、非支配的非線形期待値へ拡張可能か、特にブラック・ショールズ・バレンブラット方程式に対しては？

主な発見

• 超線形G期待値の下で、後向き確率微分方程式（G-BSDEs）の解の存在および一意性が確立され、古典的な確率的手法が非線形かつモデル不確実性のある設定へと拡張された。
• G-BSDEの解は、不確実性ボラティリティモデル下で、ブラック・ショールズ・バレンブラット方程式を含むクラスのハミルトニアン・ヤコビ・ベルマン方程式の粘性解を提供する。
• Gブラウン運動の二次変動$\langle B \rangle_t$が、各$t$に対して準確確実に微分可能であることが示された。これは、不確実性下での確率的微積分において重要な性質である。
• 超線形G期待値、確率的制御問題の値関数、およびHJB方程式の解の間で直接的な同値性が確立され、新たな確率的解釈が明らかにされた。
• 反例により、準確確実収束が$\mathbb{E}^*$下での期待値の収束を意味しないこと、および$\lim \mathbb{E}^*[X_\delta^t] \neq \mathbb{E}^*[\lim X_\delta^t]$であることが示され、この文脈では支配収束定理が成立しないことが判明した。
• 本稿では、$\mathbb{E}^*$-ブラウン運動が$\mathbb{E}_*$下で標準ブラウン運動であることが証明され、また$\mathbb{E}_*$は自身に支配されないが、関連する劣線形期待値$\mathbb{E}^* = -\mathbb{E}_*(-\cdot)$に支配されることを示した。