[論文レビュー] Persistent homoclinic tangencies and infinitely many sinks for residual sets of automorphisms of low degree in C^{3}

Sébastien Biebler|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、複素数平面ℂ³における2次多項式自己同型の存在を確立し、複素数版ブレナーモデルの類似概念を用いて、恒久的なホモクライン接続を示す。これにより、無限個のシンクが稠密な残渣集合が得られる。著者らは、断面的減衰性を持つ周期点と、複素数ブレナープロパティを満たすホースシューを有する特定の自己同型を構成し、摂動に対して安定した接続を実現し、無限個のシンクの生成を可能にする。

ABSTRACT

We show that there exists a polynomial automorphism $f$ of $\mathbb{C}^{3}$ of degree 2 such that for every automorphism $g$ sufficiently close to $f$, $g$ admits a tangency between the stable and unstable laminations of some hyperbolic set. As a consequence, for each $d \ge 2$, there exists an open set of polynomial automorphisms of degree at most $d$ in which the automorphisms having infinitely many sinks are dense. To prove these results, we give a complex analogous to the notion of blender introduced by Bonatti and Diaz.

研究の動機と目的

• 3次元複素動的系におけるニューホウス現象を、恒続的なホモクライン接続を有する多項式自己同型を構成することで拡張すること。
• 各d ≥ 2に対して、Aut_d(ℂ³)の開集合において、無限個のシンクを有する自己同型が稠密であることを示すこと。
• 不変多様体間の安定的交差を保証するため、ブレナーモデルの複素数版である「複素数ブレナー」と呼ばれる概念を導入・適用すること。
• 特定の2次多項式自己同型f₀ ∈ ℂ³が、ブレナープロパティを有するホースシューを有することを証明し、小さな摂動に対しても恒続的な接続が生じることを示すこと。
• このようなブレナーモデルの存在が、残渣集合における自己同型の小さな摂動によって、接続の展開に伴いシンクが生成されることを示すこと。

提案手法

• 指数(2,1)のホースシューを有する特定の多項式自己同型f₀ ∈ Aut₂(ℂ³)を構成し、3番目の方向が中程度に圧縮されていることとする。
• 三重ドメインDにおける不変錐場Cᵘ, Cˢˢ, Cᶜˢを用いて、複素数ブレナープロパティを定義し、Cˢˢに接する任意の曲線がDの開部分集合内で不安定多様体Wᵘ(ℋ_f₀)と交差することを保証する。
• f₀が断面的減衰性周期点を有することを証明し、特定の方向における固有値の積の絶対値が1未塔であることを保証する。
• 接続点近傍における不安定多様体と安定多様体をモデル化するため、特別な幾何的配置を持つ「折りたたまれた多様体」を導入する。
• ホロモーフィック座標変換Ψ_τとℙ²(ℂ)における射影幾何学を用いて、摂動下での不変多様体の接方向を分析する。
• 傾きの補題と横断性の議論を用い、任意に小さいτに対し、周期点における微分がAΛ₁ = 0を満たすことを示し、接続が生じることとシンクの生成を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制御された次数を持つℂ³における複素多項式自己同型で、ニューホウス現象（無限個のシンク）を実現できるか？
• RQ2 ℂ³におけるブレナーモデルの類似概念が存在し、不変多様体間の安定的交差を保証できるか？
• RQ3 2次多項式自己同型を用いて、ℂ³における恒続的なホモクライン接続を構成できるか？
• RQ4 各d ≥ 2に対して、Aut_d(ℂ³)の開集合において、無限個のシンクを有する自己同型の集合が稠密であるか？
• RQ5 多項式自己同型の小さな摂動が、接続の展開に伴いシンクを生成するための力学的条件は何か？

主な発見

• ℂ³における2次多項式自己同型f₀が存在し、f₀に十分近い任意のgは、ある双曲的集合の安定・不安定ラミネーション間の接続を有する。
• 各d ≥ 2に対して、Aut_d(ℂ³)の開集合が存在し、その中で無限個のシンクを有する自己同型が稠密である。
• 本構成は、複素数ブレナープロパティに依存する：強力な安定錐に接する任意の適切に方向付けられた曲線が、ホースシューの不安定多様体と安定的交差する。
• 著者らは、特定の2次自己同型f₀が断面的減衰性周期点を有することを証明し、シンク生成に必要な圧縮を保証する。
• ホロモーフィック座標における写像の微分を分析し、ℙ²(ℂ)における横断性を用いることで、任意に小さいパラメータτに対して、周期点近傍にシンクが出現することを示した。
• パラメータ0の任意の近傍において、このようなシンクの存在が保証されるため、摂動に対してシンクが安定的に生成されることを証明した。