[論文レビュー] Perturbative sigma models, elliptic cohomology and the Witten genus

Daniel Berwick-Evans|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2013

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 25被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、摂動的2|1次元スーパitusEuclidean場理論を用いて、複素数係数の楕円コhomologyの微分コサイクルモデルを構築する。Wittenの特徴類は、古典的真空のモジュライ空間上のラインバンドルの正則切断として、解析的手法と摂動的量子化を用いて実現され、2次元量子場理論をトポロジカルモジュラー形式とℂのテンソル積に結びつける。

ABSTRACT

We provide a differential cocycle model for elliptic cohomology with complex coefficients and use analytic methods to construct a cocycle representative for the Witten class in this language. Our motivation stems from the conjectural connection between 2-dimensional field theories and elliptic cohomology originally due to G. Segal and E. Witten. The specifics of our constructions are informed by the work of S. Stolz and P. Teichner on super Euclidean field theories and K. Costello's construction of the Witten genus using perturbative quantization. As a warm-up, we prove analogous results for supersymmetric quantum mechanics and K-theory with complex coefficients.

研究の動機と目的

• 2|1次元のスーパitusEuclidean場理論を用いて、複素数係数の楕円コhomologyの微分コサイクルモデルを構築すること。
• 解析的手法と摂動的量子化を用いて、このモデルにおけるWitten類の代表元を構成すること。
• 1|1次元の場合に摂動的量子化がAtiyah–Singerのインデックス定理によりÂ特徴類をもたらすのを一般化し、2|1次元の設定に拡張すること。
• 2|1-シグマ理論の古典的真空のモジュライ空間上のラインバンドルの正則切断としてWitten特徴類を同定すること。
• Witten類と古典的真空スタック上の体積形式から構成されるインデックス写像を通じて、TMF⊗ℂにおける誤った方向の写像の幾何的実現を与えること。

提案手法

• 論文は、2|1次元トーラスから多様体Xへの写像でℝ⁰|¹を通るものを含む、古典的真空のスーパースタックΦ₀²|¹(X)を構成する。これはスレーブ的シグマ模型の零エネルギー解を表す。
• Φ₀²|¹(X)上のラインバンドルω¹/²を定義し、その正則切断は弱モジュラー形式に対応する。テンソル巾はより高い重みのモジュラー形式を符号化する。
• Xにリーマン構造を導入することで、Φ₀²|¹(X)上の力学的演算子ΔX²|¹の族を構成する。これはリーマン接続の曲率2形式を組み込んだラプラシアンの変形である。
• ΔX²|¹の繊維ごとのζ-行列式はΦ₀²|¹(X)上の関数を定めるが、反正則なスケーリングに関して不変ではない。有理数的ストリング構造がこれに修正を加え、Witten類のwell-definedな微分コサイクルを導く。
• 修正された行列式により、Φ₀²|¹(X)上のωᵏ/²の正則切断が得られ、これがXのWitten類と同定される。
• 体積形式にWitten類と全体積の逆数をスケーリングして積分することでインデックス写像を構成し、シフトされた重みのモジュラー形式への写像を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2|1次元のスーパitusEuclidean場理論と古典的真空を用いて、TMF⊗ℂの微分コサイクルモデルをどのように構築できるか？
• RQ2 2|1-シグマ模型の摂動的量子化によって、Witten特徴類はどのように解析的に実現されるか？
• RQ3 摂動的2|1-シグマ模型は、古典的真空スタック上のラインバンドルの正則切断としてWitten特徴類をどのように再現するか？
• RQ4 有理数的ストリング構造は、ζ-行列式を修正してWitten類のwell-definedなコサイクル代表元をどのように得るか？
• RQ5 ωᵏ/²のセクションに作用するインデックス写像は、TMF⊗ℂにおける誤った方向の写像とどのように関係するか？

主な発見

• Φ₀²|¹(X)上のωᵏ/²の正則セクションの層は、弱モジュラー形式値の閉微分形式の層と同型であり、TMF⊗ℂの微分コサイクルモデルを実現する。
• 多様体XのWitten類は、有理数的ストリング構造がΔX²|¹のζ-行列式を修正することで得られる、Φ₀²|¹(X)上のωᵏ/²の正則セクションとして実現される。
• Witten類にスケーリングされた体積形式に関する、古典的真空スタックΦ₀²|¹(X)の全相対体積は、XのWitten特徴類に等しい。
• 体積形式とWitten類に対して積分することで構成されたインデックス写像は、TMF⊗ℂにおける誤った方向の写像と同定され、局所インデックス定理と整合的である。
• 1|1次元の場合に摂動的量子化がAtiyah–Singerのインデックス定理によりÂ特徴類をもたらすのを一般化し、2|1次元設定においてWitten特徴類が高次アナログとして得られる。
• Φ₀²|¹(X)上のωᵏ/²の正則セクションの層は⊕ᵢⱼ Ωᵢᶜˡ(−)⊗MFʲと同型であり、Hopkins–Singerの意味でのTMF⊗ℂの微分コサイクルモデルが確認される。