[論文レビュー] Perverse coherent sheaves on blow-up. II. wall-crossing and Betti numbers formula

Hiraku Nakajima, Kōta Yoshioka|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、射影的表面の一点での blown-up 上の perverse 可逆層のモジュライ空間を研究し、例外的除集合のラインバンドルによる捩りによって壁越えの挙動を確立し、仮想ホッジ数の公式を導出する。これらのモジュライ空間が、元の表面のモジュライ空間および blown-up の通常のモジュライ空間へ壁越えによって接続可能であることを証明し、分割と生成関数を用いたベッチ数の明示的公式を提示する。

ABSTRACT

This is the second of series of papers studyig moduli spaces of a certain class of coherent sheaves, which we call stable perverse coherent sheaves, on the blow-up of a projective surface at a point. The followings are main results of this paper: a) We describe the wall-crossing between moduli spaces caused by twisting of the line bundle associated with the exceptional divisor. b) We give the formula for virtual Hodge numbers of moduli spaces of stable perverse coherent sheaves. Moreover we also give proofs of the followings which we observed in a special case in arXiv:0802.3120: c) The moduli space of stable perverse coherent sheaves is isomorphic to the usual moduli space of stable coherent sheaves on the original surface if the first Chern class is orthogonal to the exceptional divisor. d) The moduli space becomes isomorphic to the usual moduli space of stable coherent sheaves on the blow-up after twisting by sufficiently large negative power of the line bundle associated with the exceptional curve. Therefore usual moduli spaces of stable sheaves on the blow-up and the original surfaces are connected via wall-crossings.

研究の動機と目的

• 点での blown-up 上の perverse 可逆層のモジュライ空間における壁越えの挙動を記述すること。
• これらのモジュライ空間の仮想ホッジ数（およびベッチ数）の公式を導出すること。
• 第一チャーン類が例外的除集合に直交するとき、安定な perverse 可逆層のモジュライ空間が元の表面の通常のモジュライ空間と同型であることを証明すること。
• 十分大きな $m$ に対して $\mathcal{O}(-mC)$ による捩りを施すと、モジュライ空間が blown-up の通常のモジュライ空間と同型になることを示すこと。
• 壁越え現象を通じて、元の表面と blown-up 上のモジュライ空間を完全に接続すること。

提案手法

• 異なる $\widehat{M}^{m}(c)$ を双有理写像 $\xi_m$ および $\xi_m^+$ を通じて接続する中間モジュライ空間 $\widehat{M}^{m,m+1}(c)$ を構成する。
• トーラス固定点の技法と固定点における接空間の重み空間分解を用いて、負の重み空間の次元を計算する。
• 重みが $N_2 \gg n_1 > \cdots \gg N_1 > 0$ となる $\lambda(t) = (t^{N_1}, t^{N_2}, t^{n_1}, \dots, t^{n_r})$ の1パラメータ部分群作用を適用して、等変構造を解析する。
• $\operatorname{Ext}^1(E_\alpha, E_\beta(-\ell_\infty))$ の寄与を、$e_\beta e_\alpha^{-1}$ で定まる重みに基づき計算し、固定点成分全体で和をとる。
• 分割と $q$-Pochhammer 記号を用いた生成関数を導出し、モジュライ空間のポincare系列の公式を導出する。
• $\widehat{M}^m(c)$ に適用する際は $m_\alpha \to m_\alpha + k_\alpha$ とシフトし、生成関数をそれに合わせて調整する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathcal{O}(C)$ による捩りの下で perverse 可逆層のモジュライ空間はどのように変化し、壁越えの構造はどのようなものか？
• RQ2 これらのモジュライ空間の仮想ホッジ数（またはベッチ数）の公式は何か？
• RQ3 いつ、 perverse 可逆層のモジュライ空間は元の表面 $X$ 上のモジュライ空間と同型になるか？
• RQ4 $\mathcal{O}(-mC)$ による捩りを施した後、いつモジュライ空間が blown-up $\widehat{X}$ 上の通常のモジュライ空間と同型になるか？
• RQ5 $X$ と $\widehat{X}$ 上のモジュライ空間は壁越えによって接続可能か？

主な発見

• 壁越え $\widehat{M}^m(c)$ と $\widehat{M}^{m+1}(c)$ 間は、双有理写像 $\xi_m$ および $\xi_m^+$ を通じて記述され、モジュライ空間の鎖を形成する。
• $\widehat{M}^m(c)$ の仮想ホッジ数は、分割と $q$-Pochhammer 記号を含む生成関数によって計算される。
• $(c_1, [C]) = 0$ のとき、モジュライ空間 $\widehat{M}^m(c)$ は元の表面 $X$ 上の安定層のモジュライ空間と同型である。
• 十分に大きな $m$ に対して、$\mathcal{O}(-mC)$ による捩りにより $\widehat{M}^m(c)$ は blown-up 上の通常のモジュライ空間と同型になる。
• Poincaré系列 $\sum P_t(\widehat{M}^m(c)) \mathfrak{q}^{\Delta(c)}$ の公式は、$m_\alpha$、$k_\alpha$、および $t$-重み付き内積の観点から明示的に与えられる。
• $m \to \infty$ の極限において、公式は [23, Cor. 3.10] に既知の結果を回復し、一貫性を確認する。