[論文レビュー] Perverse sheaves and modular representation theory

Daniel Juteau, Carl Mautner+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2009

Advanced Algebra and Geometry参考文献 40被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、再帰的群およびそのウェイル群のモジュラー表現理論を研究するために、正標数係数をもつ perverse sheaf の理論を展開する。交線コホモロジー複体を用いた幾何的実現が、冪零錐およびシューベルト多様体上でなされ、型AにおけるIC茎の明示的計算により、$ \mathfrak{sl}_3$ および $ \mathfrak{sl}_4$ における特徴的依存性を持つ分解行列が明らかにされる。主な貢献は、モジュラー・スプリンガー対応および幾何的技法を用いたルシュチグ予想に対する新たな境界の確立である。

ABSTRACT

This paper is an introduction to the use of perverse sheaves with positive characteristic coefficients in modular representation theory. In the first part, we survey results relating singularities in finite and affine Schubert varieties and nilpotent cones to modular representations of reductive groups and their Weyl groups. The second part is a brief introduction to the theory of perverse sheaves with an emphasis on the case of positive characteristic and integral coefficients. In the final part, we provide some explicit examples of stalks of intersection cohomology complexes with integral or positive characteristic coefficients in nilpotent cones, mostly in type $A$. Some of these computations might be new.

研究の動機と目的

• モジュラー表現理論における正標数係数への幾何的ラングランズプログラムの拡張を図ること。
• 整数および正標数係数をもつ perverse sheaf の体系的理論の構築。
• $\mathfrak{sl}_3$ および $\mathfrak{sl}_4$ の冪零錐における交線コホモロジー茎の計算を、それぞれ $p\neq3$ および $p\neq2$ のすべての特徴量において実行すること。
• 特異点の解消およびコホモロジー的切断を用いたモジュラー表現の明示的幾何的構成。
• Fourier-Deligne変換および perverse sheaf 技法を用いて、正標数係数をもつ perverse sheaf を用いたモジュラー版スプリンガー対応の確立。

提案手法

• 特異多様体、特に冪零錐上での交線コホモロジー複体の茎を計算するため、Deligne の構成を用いる。
• グラスマンニアンの余接束による特異点の解消を適用し、開ストラタのコホモロジーを計算する。
• Gysin系列を用いて、$\operatorname{Gr}(2,4)$ 上の切断された余接束のコホモロジーを計算する。
• 切断ファンクターおよび区別される三角形を用いて、定数層の押し出しを perverse sheaf に分解する。
• 分解定理および切断を用いて、$\mathbf{IC}(\overline{\mathcal{O}}_{(2^2)},k)$ の原点における茎を抽出する。
• $\operatorname{Gr}(2,4)$ のシューベルトセル分解を用いて、整数コホモロジーを計算し、体 $k$ における係数への上昇を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正標数係数をもつ交線コホモロジー複体は、再帰的群のモジュラー表現をどのように実現するか？
• RQ2 $\mathfrak{sl}_4$ において、原点における $\mathbf{IC}(\overline{\mathcal{O}}_{(2^2)},k)$ の茎の構造は、特徴量に依存してどのように変化するか？
• RQ3 正標数係数をもつ perverse sheaf を用いた幾何的技法によって、モジュラー・スプリンガー対応を構成可能か？
• RQ4 特徴量 $p$ における既約表現の分解行列は、解体空間のコホモロジーとどのように関係するか？
• RQ5 特に $\mathfrak{sl}_3$ および $\mathfrak{sl}_4$ において、IC茎の正確な特徴量依存性は何か？

主な発見

• $\mathfrak{sl}_3$ において、冪零錐の原点におけるIC茎のコホモロジーは、$p=3$ のとき次数 $-8, -4, -1$ に集中し、$p>3$ のときには $-8, -4$ のみに集中する。これにより、特徴的依存性を持つ分解行列が得られる。
• $\mathfrak{sl}_4$ において、$\mathbf{IC}(\overline{\mathcal{O}}_{(2^2)},k)$ の原点における茎は、$p=3$ のとき $k[8] \oplus k[4] \oplus k[1]$、$p>3$ のとき $k[8] \oplus k[4]$ に等しく、$p$ に依存する非自明な依存性が示される。
• $\mathfrak{sl}_4$ の $W$-軌道 $\mathcal{O}_{(2^2)}$ における分解行列は、$p=3$ に対して明示的に計算され、自明表現と標準的表現の間の非自明な拡張が明らかにされた。
• Gysin系列を用いた解体空間 $\tilde{U}'$ のコホモロジーは、$\operatorname{H}^i(\tilde{U}',k) \cong k$ を $i=0,2,4,6,8$ および $i=1,3,5,7$ で得られ、次数 4 では $k^2$ をとる。
• 押し出し $\pi_{U*}\underline{k}_{\tilde{U}'}[8]$ の切断が直和に分解可能であり、コホモロジー的分解を用いてIC茎の明示的計算が可能になる。
• モジュラー・スプリンガー対応は、Fourier-Deligne変換を用いて幾何的に実現され、古典的 $\ell$-進の場合を正標数係数へ一般化する。