[論文レビュー] Perverse sheaves on Artin stacks

Yves Laszlo, Martin Olsson|ArXiv.org|Jun 8, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、アーチンスタック上のエタール層の有限係数またはアディック係数をもつ導来カテゴリに対して、スキーム上でのベイリノソン理論を一般化して、悪質な t-構造を確立する。スタック上の perverse sheaf が滑らかさトポスに関してスタックをなすことを証明し、アーチンスタック上の perverse sheaf の一貫した定義を可能にするとともに、得られる t-構造の心が明確に定義されることを示し、有限体上の混合層や重みフィルトレーションへの応用を含む。

ABSTRACT

In this paper we develop the theory of perverse sheaves on Artin stacks continuing the study in "The six operations for sheaves on Artin stacks I: Finite Coefficients" and "The six operations for sheaves on Artin stacks II: Adic Coefficients" (math.AG/0512097 and math.AG/0603680)

研究の動機と目的

• グロテンディークの6操作の枠組みを用いて、スキームからアーチンスタックへ perverse sheaf の理論を拡張すること。
• アーチンスタック上のエタール層の導来カテゴリに対して、有限またはアディック係数をもつ perverse t-構造を定義すること。
• この t-構造の心が、滑らかさトポスによる貼り合わせと整合的な、アーチンスタック上の perverse sheaf のカテゴリに一致することを証明すること。
• 有限体上のスタック上の混合 perverse sheaf に対して、重みフィルトレーションの存在を確立し、スキーム理論のケースを一般化すること。
• 混合複体のフル部分カテゴリが perverse 切断に関して安定であること、したがって t-構造を誘導することを示すこと。

提案手法

• 滑らかさトポスによる t-構造の貼り合わせ補題を用い、スキームからスタックへの結果の拡張を行う。
• 【10, 2.3.3】の非有界版の貼り合わせ補題を用いて、アーチンスタック上の perverse sheaf を定義する。
• 基底変換および滑らかな被覆を用いて、t-構造の公理を満たすことを確認することで、スタック上の層の導来カテゴリに perverse t-構造を構成する。
• 【5, 4.2.5】で確立されたように、滑らかな準同型による引き戻しは、 perverse t-構造に関して（シフトを除いて）t-正確であるという事実を活用する。
• 有限係数（Λ_n）とアディック係数（Λ）の両方を扱い、層の射影的システムを用いて導来カテゴリを定義する。
• 貼り合わせ設定において必要な区別三角形を構成するために双対性を適用し、t-構造の公理が満たされることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エタール層の導来カテゴリ上の perverse t-構造は、スキームからアーチンスタックへ拡張可能か？
• RQ2 アーチンスタック上の perverse sheaf のカテゴリは、well-defined であり、滑らかさ降下と整合的か？
• RQ3 有限体上のスタック上の混合 perverse sheaf の導来カテゴリは、perverse t-構造から誘導される t-構造をもつか？
• RQ4 スタックの文脈において、有限体上の混合 perverse sheaf における重みフィルトレーションの構造は何か？
• RQ5 スタック上の混合複体のカテゴリは、perverse 切断に関して安定か？

主な発見

• 有限またはアディック係数をもつエタール層の導来カテゴリにおける perverse t-構造は、アーチンスタック上でwell-definedであり、その心は perverse sheaf のカテゴリに一致する。
• アーチンスタック上の perverse sheaf は滑らかさトポスに関してスタックをなすため、局所的な貼り合わせによる一貫したグローバル定義が可能である。
• アーチンスタック上の perverse sheaf のアーベルカテゴリの導来カテゴリは、B𝐺𝑚 の例によって示されるように、スタック上の層の導来カテゴリと同値ではない。
• 有限体上のスタック上の混合 perverse sheaf は、重みが増加する純粋な各成分数からなる一意な重みフィルトレーションをもつ。
• スタック上の層の導来カテゴリにおける混合複体の部分カテゴリは、perverse 切断に関して安定であり、したがって t-構造を誘導する。
• スタック上での混合 perverse sheaf における重みフィルトレーションは、射に関して厳密に整合的であり、スキーム理論のケースを一般化する。