[論文レビュー] Perverse Sheaves on Loop Grassmannians and Langlands Duality

Ivan Mirković, Kari Vilonen|ArXiv.org|Mar 9, 1997

Advanced Algebra and Geometry参考文献 4被引用数 19

ひとこと要約

この論文は、$\check{G}$ の表現の圏と、$G(\mathcal{O})$-等配な perverse sheaves の圏の間のテンソル同値を、自然な可換性制約を持つ畳み込み積を用いて構成することにより、幾何的 Satake 同型を確立する。主な結果として、これらの層のグローバルコホロロジーが $\check{G}$ の既約表現に一致し、軌道の交叉の既約成分によってインデックス付けられる標準的基底が得られる。

ABSTRACT

We outline a proof of a geometric version of the Satake isomorphism. Given a connected, complex algebraic reductive group G we show that the tensor category of representations of the dual group $\check G$ is naturally equivalent to a certain category of perverse sheaves on the loop Grassmannian of G. The above result has been announced by Ginsburg in \cite{G} and some of the arguments are borrowed from \cite{G}. However, we use a more "natural" commutativity constraint for the convolution product, due to Drinfeld. Secondly, we give a direct geometric proof that the global cohomology functor is exact and decompose this cohomology functor into a direct sum of weights. We avoid the use of the decomposition theorem of \cite{BBD} which makes our techniques applicable to perverse sheaves with coefficients over arbitrary commutative rings. This note includes sketches of (some of the) proofs. The details, as well as the generalization to representations over arbitrary fields and commutative rings will appear elsewhere.

研究の動機と目的

• ループ Grassmannian 上の perverse sheaves を用いた Satake 同型の幾何的実現を確立すること。
• 分解定理を避けて、グローバルコホモロジー関手の完全性と重み分解を直接的に幾何的に証明すること。
• Drinfeld の構成を用いて畳み込み積の自然な可換性制約を定義し、従来の手法を改善すること。
• ループ Grassmannian 上の既約 perverse sheaves のグローバルコホモロジーを、Langlands 双対群 $\check{G}$ の既約表現に特定し、標準的基底を導出すること。
• コホモロジー群が代数的サイクルによって生成されること、特に軌道の交叉の既約成分によって生成されることを示すこと。

提案手法

• ループ Grassmannian $\mathcal{G} = G(\mathcal{K})/G(\mathcal{O})$ を、コホーマ $\lambda \in X_*(T)$ によってインデックス付けられる $G(\mathcal{O})$-軌道による層状の ind-スキームとして定義する。
• 図式 $\mathcal{G} \times \mathcal{G} \leftarrow G(\mathcal{K}) \times_{G(\mathcal{O})} \mathcal{G} \xrightarrow{m} \mathcal{G}$ を用いて、$G(\mathcal{O})$-等配な perverse sheaves 上の畳み込み積を構成し、$Rm_*\tilde{A}$ を畳み込みと定義する。
• $p$ と $q$ がザリスキ位相で局所的に自明であることを用いて $\tilde{A}$ の存在を保証し、階層的半小性を用いて $Rm_*\tilde{A}$ が perverse であることを証明する。
• リー代数 $\mathfrak{g}_{\mathcal{K}}$ 上の残差形式を用いて $\mathcal{G}$ 上にポアソン構造を導入し、シンプレクティック葉を $G(\mathcal{O})$-軌道と $K_-$-軌道の交叉として特定する。
• $\nu$ が反ドミナントのとき、$S_\nu \cap \mathcal{G}_\lambda$ が $\mathcal{G}^\nu \cap \mathcal{G}_\lambda$ 内でラグランジュ的であることを、ポアソン構造を用いて次元推定を確立することで証明する。
• 因数分解と純粋性を用いて、一般の $\nu$ に拡張して次元推定を行い、$\dim(m^{-1}S_\nu \cap p^{-1}(\mathcal{G}_\lambda) \times_{G(\mathcal{O})} \mathcal{G}_\mu) = \operatorname{ht}(\lambda + \mu + \nu)$ を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 BBD の分解定理に依存せずに、幾何的 Satake 同型をどのように証明できるか。
• RQ2 ループ Grassmannian の文脈において、畳み込み積の正しい自然な可換性制約は何か。
• RQ3 ループ Grassmannian 上の既約 perverse sheaves のグローバルコホモロジー群は、どのようにして Langlands 双対群 $\check{G}$ の既約表現を実現するか。
• RQ4 表現 $\check{G}$ の標準的基底の幾何的起源は何か。
• RQ5 ループ Grassmannian 上の $\mathcal{G}$ におけるシンプレクティック葉とポアソン構造は、畳み込み図式のファイバー積の次元をどのように制御するか。

主な発見

• $G(\mathcal{O})$-等配な perverse sheaves から、軌道層状に構成された層への忘却関手は同値である。
• グローバルコホモロジー関手 $\mathbb{H}^*(\mathcal{G}, -)$ は完全であり、分解定理を必要とせず、重み成分の直和に分解される。
• 既約 perverse sheaf $\mathcal{V}_\lambda = j_{!*}\Bbbk_\lambda[\dim \mathcal{G}_\lambda]$ は、同値のもとで $\check{G}$ の既約表現 $V_\lambda$ に対応する。
• 表現空間 $V_\lambda$ は、グローバルコホモロジー $\mathbb{H}^*(\mathcal{G}, \mathcal{V}_\lambda)$ に自然に同型であり、$\bigoplus_{\nu \in X_*(T)} \Bbbk[\operatorname{Irr}(S_\nu \cap \mathcal{G}_\lambda)]$ に分解される。
• コホモロジー $\mathbb{H}^*(\mathcal{G}, \mathcal{V}_\lambda)$ は代数的サイクルによって生成され、特に $S_\nu \cap \mathcal{G}_\lambda$ の既約成分によって生成される。
• ファイバー積 $m^{-1}S_\nu \cap p^{-1}(\mathcal{G}_\lambda) \times_{G(\mathcal{O})} \mathcal{G}_\mu$ は純粋次元 $\operatorname{ht}(\lambda + \mu + \nu)$ を持ち、主要な次元推定が確立される。