[論文レビュー] Pfaffian Calabi-Yau threefolds, Stanley-Reisner schemes and mirror symmetry

Ingrid Fausk|arXiv (Cornell University)|May 22, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、三角形分割された3次元球面からのStanley-Reisnerスキームの滑らか化を通じて、Calabi-Yau3次元多様体を構成する。Pfaffian構造と余接コホモロジーを用いてホッジ数を計算し、$ h^{1,2} = 86 $ を示すことで鏡像対称性を確立する。非滑らか化可能な例について $ \chi(X) = -\chi(X^\circ) $ を確認し、Pfaffian行列のシンジーギー行列を用いた明示的な変形公式により、普遍変形族を提供する。

ABSTRACT

Calabi-Yau manifolds are important objects in algebraic geometry and in theoretical physics. A hypothesis of mirror symmetry is that Calabi-Yau manifolds of dimension 3 come in pairs, with the Hodge numbers of one manifold mirroring the Hodge numbers of the other. In this thesis, Calabi-Yau manifolds are constructed by smoothing Stanley-Reisner schemes of triangulations of 3-spheres. The triangulations of the 3-sphere with 7 or 8 vertices have been constructed and classified by Grünbaum and Sreedharan (1967). In this thesis we characterize the Calabi-Yau manifolds obtained from the triangulations with 7 vertices. They are embedded in six-dimensional projective space. Mirrors of such manifolds are constructed by resolution of singularities performed on a singular fiber in the deformation family of the Stanley-Reisner scheme. In this way, we reproduce the mirror by Rødland (1999) of a degree 14 pfaffian Calabi-Yau threefold, and the mirror candidate by Böhm (2007) of a degree 13 pfaffian Calabi-Yau threefold. In the latter case we verify that the Hodge numbers in fact constitute a mirror, using toric geometry.

研究の動機と目的

• 3次元球面の三角形分割からStanley-Reisnerスキームを経由してCalabi-Yau3次元多様体を構成すること。
• ノード特異点を持つStanley-Reisnerスキームの小解消におけるホッジ数 $ h^{1,2} $ を計算すること。
• 明示的なホッジ数の計算を通じて $ \chi(X) = -\chi(X^\circ) $ を確認することにより、鏡像対称性を確立すること。
• 非滑らか化可能な例に対して、余接コホモロジーとPfaffian構造を用いた変形論的アプローチにより変形空間を構築すること。
• codimension 3 のGorenstein Stanley-Reisnerスキームの普遍変形空間の明示的公式を提供すること。

提案手法

• Buchsbaum-Eisenbudの構造定理を用いて、Stanley-Reisnerイデアルを歪対称行列のPfaffianとして表現する。
• Kleppeの補題を適用し、$ X = \mathrm{Proj}(A) $ の埋め込み変形を、$ T^1_A $ の次数0部分、すなわち1次変形モジュールに一致させること。
• ホッジ数 $ h^{1,2}(\tilde{X}) $ を、評価写像 $ T^1_{A,0} \to \bigoplus_i T^1_{A_i} $ の核の次元として計算する。ここで $ A_i $ はノードにおける局所環を表す。
• AltmannとChristophersenの組合せ的多様体の変形論を用いて、Stanley-Reisnerスキームの普遍変形空間を記述する。
• パラメータ化された係数 $ t_i $ を用いて、特定の三角形分割 $ P^7_3 $、$ P^7_4 $、$ P^7_5 $ に対して、変形環内の明示的な二次および線形関係を構成する。
• 非滑らか化可能なCalabi-Yau3次元多様体に対して $ h^{1,2} = 86 $ を計算し、$ \chi(X) = -\chi(X^\circ) $ を確認することで、鏡像対称性を数値的に検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元球面の三角形分割のStanley-Reisner環におけるPfaffian構造を用いて、滑らか化によりCalabi-Yau3次元多様体を構成できるか。
• RQ2 ノード特異点を持つStanley-Reisnerスキームの小解消におけるホッジ数 $ h^{1,2} $ はどのように計算できるか。
• RQ3 余接コホモロジーは、このようなスキームの変形空間の計算において果たす役割は何か。
• RQ4 非滑らか化可能なCalabi-Yau3次元多様体がStanley-Reisnerスキームから構成された場合、鏡像対称性は成立するか。
• RQ5 codimension 3 のGorenstein Stanley-Reisnerスキームに対して、明示的な変形族を構築できるか。

主な発見

• 小解消 $ \tilde{X} \to X $ のホッジ数 $ h^{1,2} $ は、$ A $ をStanley-Reisner環、$ A_i $ をノードにおける局所環とするとき、評価写像 $ T^1_{A,0} \to \bigoplus_i T^1_{A_i} $ の核の次元として計算される。
• 1つのノードを持つ非滑らか化可能な例について、ホッジ数 $ h^{1,2}(\tilde{X}) = 86 $ であり、非自明な鏡像対が確認された。
• オイラー標数は $ \chi(X) = -\chi(X^\circ) $ を満たし、構成されたCalabi-Yau3次元多様体について鏡像対称性が数値的に確認された。
• Stanley-Reisnerスキームの普遍変形空間は、シンジーギー行列におけるPfaffian関係によって記述され、三角形分割 $ P^7_3 $、$ P^7_4 $、$ P^7_5 $ に対して、パラメータ化された二次形式および線形形式が明示的に得られた。
• Pfaffianイデアルと変形論を用いて、7個の頂点を持つ3次元球面の三角形分割からCalabi-Yau3次元多様体を成功裏に構成した。
• この構成により、非滑らか化可能なCalabi-Yau3次元多様体に対しても鏡像対称性が成立することが確認され、Greene-Plesserの鏡像対称性構成の適用範囲が拡張された。