[論文レビュー] Pfaffian of Appell's hypergeometric system $F_4$ in terms of the intersection form of twisted cohomology groups

Yoshiaki Gotō, Jyoichi Kaneko+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2015

Polynomial and algebraic computation参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、歪みたコホロロジーと特異点の補集合の二重被覆を用いて、Appellの超幾何関数 $F_4$ の簡略化された Pfaffian 系を導出する。この被覆に引き戻された接続を、適切なフレームを選べば、接続行列は対数的かつ可積分的となり、その構造は歪みたコホロロジー群の交差形式によって完全に記述される。これにより、行列表現に依存せず、幾何的内在データに置き換えることが可能になる。

ABSTRACT

We study a Pfaffian of the system of differential equations annihilating Appell's hypergeometric series $F_4(a,b,c;x)$ by twisted cohomology groups associated with integrals representing solutions to this system. We simplify its connection matrix by the pull-back under a double cover of the complement of the singular locus. We express the simplified connection matrix in terms of the intersection form of the twisted cohomology groups.

研究の動機と目的

• Appellの $F_4$ 超幾何系の接続行列を、当初は複雑で非対数的であるため、簡略化すること。
• モノドロミーを自明化し、接続構造を単純化するための基底空間の二重被覆を構成すること。
• 引き戻された接続を、歪みたコホロロジー群の交差形式を用いて表現し、幾何的で行列に依存しない表現を可能にすること。
• 接続と整合性を持つような引き戻しバンドル上のフレームを確立し、$d_x \mathcal{I}_c(\varphi_i, \varphi_j^\vee) = 0$ が成り立つようにすること。
• $F_4$ からの知見を高ランクの Lauricella 系へ一般化するための条件を特定すること。

提案手法

• 解を表すために、$H^2(\Omega^\bullet(\mathbb{C}_x^2), \nabla)$ のような歪みたコホロロジー群を用いる。
• $(y_1,y_2) \mapsto (y_1(1-y_2), y_2(1-y_2))$ で定義される $\mathbb{C}^2 \to \mathbb{C}^2$ の二重被覆を適用して接続を単純化する。
• 元の接続 $\nabla_X$ をこの被覆に引き戻し、新しい接続 $\nabla_Y$ を得る。これにより対数的形が得られる。
• 交差ペアリング $\mathcal{I}_c$ がすべての $i,j$ に対して $d_x \mathcal{I}_c(\varphi_i, \varphi_j^\vee) = 0$ を満たすような引き戻しバンドルのフレームを構成する。
• 引き戻された接続 $\nabla_Y$ を交差形式 $\mathcal{I}_c$ および部分行列 $\widehat{C}_1, \widehat{C}_2, \widehat{C}_{44}$ の逆行列を用いて表現し、明示的な行列成分を避ける。
• 係数行列 $\widehat{\Xi}^i$ の固有ベクトルと固有値を用いて、接続を $\mathcal{I}_c$ とフレーム $\widehat{\varphi}_i$ の用語で表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 覆い写像を用いて $F_4$ 系の接続行列を簡略化し、顕在的な特異点を除去できるか？
• RQ2 歪みたコホロロジーバンドル上の被覆空間において、交差ペアリングが外微分に関して閉じているようなフレームが存在するか？
• RQ3 $F_4$ の Pfaffian 接続を行列表現を一切用いずに、交差形式のみで表現できるか？
• RQ4 $F_4$ のモノドロミーは、二重被覆上の交差形式および消失サイクルとどのように関係するか？
• RQ5 この手法を高ランクの Lauricella 系へ一般化するための条件は何か？

主な発見

• 二重被覆上の引き戻し接続 $\nabla_Y$ は可積分的である：$d\widehat{\Xi} = \widehat{\Xi} \wedge \widehat{\Xi} = 0$。
• 接続 $\nabla_Y$ は $dy_1/y_1$, $dy_2/y_2$ などの対数的1次形式を係数に持ち、その係数は交差形式 $\mathcal{I}_c$ から導かれる。
• 簡略化された接続行列 $\widehat{\Xi}$ は $\mathcal{I}_c$ および逆部分行列 $\widehat{C}_1$, $\widehat{C}_2$, $\widehat{C}_{44}$ を用いて表現され、明示的な行列成分を避ける。
• フレーム $\widehat{\varphi}_1, \dots, \widehat{\varphi}_4$ はすべての $i,j$ に対して $d_x \mathcal{I}_c(\widehat{\varphi}_i, \widehat{\varphi}_j^\vee) = 0$ を満たし、接続と整合的であることが保証される。
• 係数行列 $\widehat{\Xi}^1, \widehat{\Xi}^2, \widehat{\Xi}^3$ は $\widehat{C}$, 固有ベクトル, 固有値を用いて表現され、$\lambda_i$ および $c_i$ パrameter を含む明示的公式を含む。
• 接続は交差形式 $\mathcal{I}_c$ から完全に再構成可能であり、歪みたコホロロジーの幾何的構造が微分系を完全に符号化していることを示している。