[論文レビュー] The monodromy representation of Lauricella's hypergeometric function F_C

Yoshiaki Gotō|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2014

Polynomial and algebraic computation参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ねじれたホモロジー群と交差形式を用いて、$m$ 変数のLauricellaの超幾何関数 $F_C$ のモノドロミー表現を構成する。特異軌跡の補集合の基本群の生成子を同定し、巡回変換の明示的行列表現を導出し、原点回りのモノドロミーの固有値が $(-1)^{m-1}e^{2\pi i(c_1+\cdots+ c_m - a - b)}$ および 1 であることを示す。前者の固有空間は1次元であり、特定のねじれたサイクルによって張られる。

ABSTRACT

We study the monodromy representation of the system $E_C$ of differential equations annihilating Lauricella's hypergeometric function $F_C$ of $m$ variables. Our representation space is the twisted homology group associated with an integral representation of $F_C$. We find generators of the fundamental group of the complement of the singular locus of $E_C$, and give some relations for these generators. We express the circuit transformations along these generators, by using the intersection forms defined on the twisted homology group and its dual.

研究の動機と目的

• $m$ 変数のLauricellaの超幾何関数 $F_C$ に関連する力学系 $E_C$ のモノドロミー表現を特定すること。
• 特異軌跡の補集合の基本群を生成する基本的ループ系を同定すること。
• これらのループに沿った巡回変換（モノドロミー作用）を、ねじれたホモロジー群上の交差形式を用いて表現すること。
• 原点回りのモノドロミー変換の固有空間を特徴づけ、特に固有値 $(-1)^{m-1}e^{2\pi i(c_1+\cdots+ c_m - a - b)}$ に対応する1次元固有空間を特定すること。
• 特定のねじれたサイクルの基底に依存しない、交差形式に基づくモノドロミー行列の計算手法を提供すること。

提案手法

• 表現空間は、$F_C$ のオイラー型積分表現に関連する $m$ 階のねじれたホモロジー群として構成される。
• 特異軌跡の補集合の基本群の生成子は、$m+1$ 個のループ $\rho_0, \rho_1, \dots, \rho_m$ として特定され、$1 \leq i,j \leq m$ に対して $\rho_i\rho_j = \rho_j\rho_i$ が成り立ち、$1 \leq k \leq m$ に対して $(\rho_0\rho_k)^2 = (\rho_k\rho_0)^2$ が成り立つ。
• これらのループに沿った巡回変換 $\mathcal{M}_i$ は、ねじれたホモロジー群およびその双対空間上の交差形式を用いて表現される。
• $1 \leq k \leq m$ に対してモノドロミー $\mathcal{M}_k$ の固有値は $\exp(-2\pi i c_k)$ および 1 であり、それぞれの固有空間の次元は $2^{m-1}$ である。
• モノドロミー $\mathcal{M}_0$ はその固有空間の構造により分析される：固有値 $(-1)^{m-1}\exp(2\pi i(c_1+\cdots+c_m - a - b))$ の固有空間は1次元であり、ねじれたサイクル $D_{1\cdots m}$ によって張られる。残りの固有空間は交差形式に関する直交補空間である。
• モノドロミー写像は交差数を用いて計算され、基底に依存しない行列表現が可能となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lauricellaの $F_C$ が $m$ 変数である力学系 $E_C$ の特異軌跡の補集合の基本群の生成子は何か？
• RQ2 これらの生成子に沿ったモノドロミー変換は、ねじれたホモロジー群上の交差形式を用いてどのように表現できるか？
• RQ3 原点回りのモノドロミー変換 $\mathcal{M}_0$ の固有空間の構造は何か？
• RQ4 特定のねじれたサイクルの基底を固定しないでモノドロミー表現をどのように計算できるか？
• RQ5 モノドロミー変換 $\mathcal{M}_0$ の正確な固有値および固有空間の構造は何か？

主な発見

• 特異軌跡の補集合の基本群は、$m+1$ 個のループ $\rho_0, \rho_1, \dots, \rho_m$ によって生成され、$1 \leq i,j \leq m$ に対して $\rho_i\rho_j = \rho_j\rho_i$ が成り立ち、$1 \leq k \leq m$ に対して $(\rho_0\rho_k)^2 = (\rho_k\rho_0)^2$ が成り立つ。
• $1 \leq k \leq m$ に対してモノドロミー変換 $\mathcal{M}_k$ の固有値は $\exp(-2\pi i c_k)$ および $1$ であり、それぞれの固有空間の次元は $2^{m-1}$ である。
• モノドロミー変換 $\mathcal{M}_0$ の固有値は $(-1)^{m-1}\exp(2\pi i(c_1+\cdots+c_m - a - b))$ および $1$ であり、前者の固有空間は1次元であり、ねじれたサイクル $D_{1\cdots m}$ によって張られる。
• $\mathcal{M}_0$ の固有値 1 に対応する固有空間は、交差形式に関して $\mathbb{C}D_{1\cdots m}$ の直交補空間である。
• 任意のねじれたサイクルに対する $\mathcal{M}_0$ の作用は、$D_{1\cdots m}$ との交差数によって完全に決定され、これは補題 5.7 で述べられている。
• すべての生成子に対するモノドロミー行列は交差数を用いて表現され、基底に依存しないモノドロミー表現の計算が可能となる。