[論文レビュー] Phase Retrieval with One or Two Diffraction Patterns by Alternating Projection with Null Initialization

Pengwen Chen, Albert Fannjiang+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2015

Advanced X-ray Imaging Techniques参考文献 44被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、1つまたは2つのコーディングされた回折パターンを用いた位相再構成において、null初期化を用いた交互射影（AP）を提案し、問題の非凸性にもかかわらずグローバル収束を達成する。幾何的収束の鋭いスペクトルギャップ境界を証明し、理論と実験の両面から、null初期化が優れた初期推定値を提供することを示し、APが真の物体にグローバルかつ正確に収束できることを明らかにする。

ABSTRACT

Alternating projection (AP) of various forms, including the Parallel AP (PAP), Real-constrained AP (RAP) and the Serial AP (SAP), are proposed to solve phase retrieval with at most two coded diffraction patterns. The proofs of geometric convergence are given with sharp bounds on the rates of convergence in terms of a spectral gap condition. To compensate for the local nature of convergence, the null initialization is proposed for initial guess and proved to produce asymptotically accurate initialization for the case of Gaussian random measurement. Numerical experiments show that the null initialization produces more accurate initial guess than the spectral initialization and that AP converges faster to the true object than other iterative schemes for non-convex optimization such as the Wirtinger Flow. In numerical experiments, AP with the null initialization converges globally to the true object.

研究の動機と目的

• 1つまたは2つのコーディングされた回折パターンを用いた位相再構成における、交互射影（AP）の停滞および局所的収束問題を解決すること。
• APの局所的収束性を克服するため、新たな初期化法「null初期化」を導入し、グローバル収束を向上させること。
• コーディングされた回折パターンのユニークネスフレームワーク下で、さまざまなAP変種（PAP、RAP、SAP）の幾何的収束に対する理論的保証を確立すること。
• ガウス確率的測定において、null初期化がサンプルサイズが増加するにつれて、任意に高い精度の初期推定値を漸近的に生成することを示すこと。
• 実験的に、APにnull初期化を適用した場合が、Wirtinger Flowなどの他の非凸最適化手法よりも収束速度と精度で優れていることを示すこと。

提案手法

• 並列（PAP）、実数制約付き（RAP）、逐次（SAP）の3つのAP変種を提案。各変種は、物体制約集合 $A^*\mathcal{X}$ と強度制約集合 $\mathcal{Y} = \{y \in \mathbb{C}^N : |y| = b\}$ への射影を繰り返す。
• 強度制約を成分ごとの位相調整によって実現するため、$P_2 z = b \odot (z / |z|)$ を定義。ここで $z/|z| = 1$ と定義し、ゼロ成分に対しても処理を行う。
• 測定演算子の核空間から導かれる、新しい初期推定戦略「null初期化」を導入。これにより、APのための高品質な初期点が得られる。
• スペクトルギャップ条件を用いて、幾何的収束の鋭い収束速度を理論的に証明。すべての3つのAP変種がユニークネスフレームワーク下で収束することを確立。
• 集中不等式とベルンシュタイン型の境界を用いて、ガウス確率的測定下でのnull初期化の統計的挙動を分析。
• 経験的累積平均の単調性と尾部境界を活用し、$N \to \infty$ のとき、null初期化が誤差が任意に小さくなる推定値を生成することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 交互射影にnull初期化を組み合わせることで、1つまたは2つのコーディングされた回折パターンでの位相再構成において、グローバル収束を達成できるか？
• RQ2 コーディングされた回折パターンのユニークネス条件下で、さまざまなAP変種（PAP、RAP、SAP）の理論的収束速度は何か？
• RQ3 null初期化はスペクトル初期化と比較して、精度と収束挙動においてどのように異なるか？
• RQ4 測定値がガウス確率的である場合、null初期化は漸近的に正確な初期推定値を生成するか？
• RQ5 提案手法は、Wirtinger Flowなどの既存の非凸最適化手法よりも、速度と再構成品質の両面で優れているか？

主な発見

• ガウス確率的測定において、null初期化はサンプルサイズ $N$ が増加するにつれて、誤差がゼロに収束する漸近的に正確な初期推定値を生成する。
• 理論的分析により、PAP、RAP、SAPのすべての変種が、スペクトルギャップ条件に依存する鋭い収束速度で幾何的収束することを証明。
• 数値実験により、APにnull初期化を適用した場合、標準的なAPで見られる停滞を回避し、真の物体にグローバルに収束することが示された。
• Wirtinger Flowや他の非凸最適化手法と比較して、APにnull初期化を適用した場合、収束が早く、再構成精度も高いことが実験的に確認された。
• APは本質的に局所的収束性を持つが、null初期化の有効性のおかげで、実用的にグローバル収束を達成している。
• 2つの独立にコーディングされた回折パターンを用いることで、解のグローバル位相を除き一意に保証され、安定的かつ信頼性の高い回復が可能となる。