[論文レビュー] Phase space for the Einstein equations

Robert Bartnik|ArXiv.org|Feb 16, 2004

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 21被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、一般相対性理論における漸近的に平坦な初期データの位相空間に対して、厳密なヒルベルト多様体枠組みを確立し、制約多様体が滑らかであることを証明するとともに、ADMエネルギー運動量がそれに対して滑らかであることを示している。また、時間移動に漸近する任意の lapse-shift に対して正しい発展方程式を生成する正則化ハミルトニアンを導入し、制約多様体上でのADM質量の臨界点が、静的な真空中時空の初期データに正確に対応することを示している。

ABSTRACT

A Hilbert manifold structure is described for the ADM phase space of asymptotically flat initial data $(g,π)$ with local $H^2 imes H^1$ Sobolev regularity. Solutions of the constraint equations form a Hilbert submanifold. A regularized RT Hamiltonian is defined and smooth on the full phase space and generates the Einstein evolution for any lapse-shift asymptotic to a (time) translation at infinity. Critical points for the total (ADM) mass, considered as a function on the Hilbert manifold of constraint solutions, arise precisely at initial data generating stationary vacuum spacetimes.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論における漸近的に平坦な初期データの位相空間に、厳密なヒルベルト多様体構造を与えること。
• 制約多様体上でのADMエネルギー運動量およびハミルトニアンの滑らかさを確立し、それを全位相空間上での正則化版に拡張すること。
• 制約多様体上でのADM質量の臨界点が、静的真空中時空の初期データに対応することを特徴づけること。
• バナッハ空間へのラグランジュ乗数法の一般化を用いて、エネルギーの制約付き臨界点とキリング初期データを厳密に結びつけること。

提案手法

• 漸近的に平坦な初期データのための減衰条件を満たす $\mathcal{F} = H^2 \times H^1$ として位相空間を構築する。
• 線形化安定性を用いて、$\Phi(g,\pi) = 0$ で定義される制約集合 $\mathcal{C} \subset \mathcal{F}$ が滑らかなヒルベルト部分多様体であることを証明する。
• ADMエネルギー運動量を $\mathcal{C}$ 上で滑らか $C^\infty$ 関数として定義するが、$\mathcal{F}$ 全体では有限でない。
• 正則化ハミルトニアン $\mathcal{H}(g,\pi;\xi)$ を $\mathcal{F}$ 上で滑らかに定義し、$\mathcal{C}$ 上でレッジ＝タイベルボイムハミルトニアンと一致する。
• バナッハ空間における一般化されたラグランジュ乗数法を用いて、正則化ハミルトニアンの臨界点とキリング初期データ方程式の解とを関連付ける。
• $\mathcal{C}$ が部分多様体であることを保証するため陰関数定理を適用し、双対性を用いてラグランジュ乗数 $\lambda$ の存在を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アインシュタイン方程式の漸近的に平坦な初期データの位相空間に、ヒルベルト多様体構造を導入できるか？
• RQ2 制約多様体 $\mathcal{C}$ は位相空間 $\mathcal{F}$ の滑らかな部分多様体か？
• RQ3 全位相空間 $\mathcal{F}$ 上に、時間移動に漸近する lapse-shift に対して正しい発展方程式を生成する正則化ハミルトニアンを定義できるか？
• RQ4 制約多様体 $\mathcal{C}$ 上でのADM質量の臨界点は、静的真空中時空を生成する初期データに対応するか？
• RQ5 エネルギーの臨界点とキリング初期データを結ぶブリル＝デセール＝ファデエフの恒等式を、変分法を用いて厳密に確立できるか？

主な発見

• 定理3.12により、制約集合 $\mathcal{C}$ は位相空間 $\mathcal{F}$ の滑らかなヒルベルト部分多様体である。
• 定理4.1により、ADMエネルギー運動量は $\mathcal{C}$ 上で滑らか $C^\infty$ 関数である。
• 定理5.2により、正則化ハミルトニアン $\mathcal{H}(g,\pi;\xi)$ は $\mathcal{F}$ 上で $C^\infty$ であり、時間移動に漸近する任意の lapse-shift $\xi$ に対して正しい発展方程式を生成する。
• 定理6.1により、制約多様体 $\mathcal{C}$ 上でのADM質量の臨界点は、静的真空中時空を生成する初期データに正確に対応する。
• 一般化されたバナッハ空間におけるラグランジュ乗数法により、正則化ハミルトニアンの $\mathcal{C}$ 上の臨界点が $D\Phi(g,\pi)^*\xi = 0$ の解、すなわちキリング初期データに対応することが確認された。
• ブリル＝デセール＝ファデエフの恒等式は、$\mathcal{C}$ 上で $Dm_{\text{ADM}}(g,\pi) = 0$ であることと、$\xi_\infty$ が $({\mathbb{P}}^\alpha)$ に比例する一般化キリングベクトル $\xi$ であることとが同値であることを示すことによって、厳密に確立された。