[論文レビュー] Phase Space Wannier Functions in Electronic Structure Calculations

D. J. Sullivan, J. J. Rehr+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2010

Acoustic Wave Resonator Technologies参考文献 1被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、位置空間および運動量空間の両方で指数関数的に局在化する、電子構造計算のための新しい基底関数セットである位相空間ワニエ関数（PWFs）を導入する。平面波の解析的簡潔さとガウス関数の空間的局在性を組み合わせることで、PWFs はスパースなハミルトニアン行列と顕著に小さい基底関数サイズを実現する。1次元モデル計算において、収束に必要な関数数が平面波よりも少ないことが示された。

ABSTRACT

We consider the applicability of phase space Wannier functions" to electronic structure calculations. These generalized Wannier functions are analogous to localized plane waves and constitute a complete, orthonormal set which is exponentially localized both in position and momentum space. Their properties are described and an illustrative application to bound states in one dimension is presented. Criteria for choosing basis set size and lattice constant are discussed based on semi-classical, phase space considerations. Convergence of the ground state energy with respect to basis size is evaluated. Comparison with plane-waves basis sets indicates that the number of phase space Wannier functions needed for convergence can be signicantly smaller in three dimensions. PACS: 71.10.+x, 71.50.+t

研究の動機と目的

• 位置空間および運動量空間の両方で直交的で、完全かつ一般化された基底関数セットを、電子構造計算用に開発すること。
• 平面波（非局在）やガウス関数（非直交、過剰）といった従来の基底関数の限界を克服し、優れた局在性と解析的性質を有する新しい関数クラスを導入すること。
• 位相空間ワニエ関数が、特に3次元において、平面波よりも少ない基底関数数で収束を達成できることを示すこと。
• 半古典的位相空間的議論を用いて、基底関数サイズおよび格子定数の理論的基準を確立すること。
• 1次元モデル計算を通じて、基底状態エネルギーの収束を評価し、平面波基底関数セットと比較することで、手法の妥当性を検証すること。

提案手法

• 位相空間ワニエ関数 wl,n(x) は、間隔 a = 2π の格子上に中心を持つ、実数で運動量に局在化した関数 wl(x) の均一な並進として定義される。
• 位置空間における試行関数 gl,n(x) の集合からユニタリ変換を用いて関数を構築し、重なり行列 Sln,l′n′ の逆平方根を用いることで、直交性を保証する。
• 運動量空間における一般化固有値問題を解くことで手法が実装され、大きな l の極限では 2×2 のタイトバインディング型問題に還元され、固有値は試行関数 f(p) のフーリエ変換から得られる。
• 位置空間および運動量空間における指数関数的局在性は、逆重なり行列 (S−1/2)ln,l′n′ の崩壊を分析することで証明され、大きなインデックスにおいて |n−n′| および |l−l′| に関して指数関数的に減少することが示された。
• 崩壊率は、複素 k, q 空間における固有値関数 λ(k,q) の最近接の零点によって決定され、経験的崩壊定数として ¯hn = 2.9 および ¯hl = 0.46 が得られた。
• ワニエ関数のモーメントを用いて、運動エネルギーおよび簡単なポテンシャル（例：1, x, x²）の行列要素を解析的に計算することで、効率的なハミルトニアン構築が可能になった。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位相空間ワニエ関数は、位置空間および運動量空間の両方で指数関数的に局在化させつつ、直交性および完全性を保つように構築可能か？
• RQ2 1次元および3次元において、基底状態エネルギーの収束に必要な基底関数サイズは、平面波と比較してどの程度異なるか？
• RQ3 半古典的位相空間的考察に基づいて、格子定数および基底関数サイズの最適選択は何か？
• RQ4 位相空間ワニエ関数は、平面波基底セットと比較して、ハミルトニアン行列のスパarsityおよびサイズをどの程度削減できるか？
• RQ5 この手法は3次元系に一般化可能か？また、擬ポテンシャルを用いた自己無撞着な電子構造計算に拡張可能か？

主な発見

• 位相空間ワニエ関数は、位置空間および運動量空間の両方で指数関数的に局在化しており、それぞれの崩壊定数は ¯hn = 2.9 および ¯hl = 0.46 であり、これによりスパースなハミルトニアン行列が保証される。
• 1次元モデル計算において、基底状態エネルギーは、平面波基底関数セットよりも少ない位相空間ワニエ関数数で収束することが確認され、基底関数の効率性が優れていることが示された。
• 3次元において、収束に必要な位相空間ワニエ関数の数は、平面波よりも顕著に少ない。これは、位相空間における優れた局在性に起因する。
• 運動エネルギーおよび多項式ポテンシャルの行列要素は、ワニエ関数のモーメントを用いて解析的に計算可能であり、効率的なハミルトニアン構築が可能である。
• 逆重なり行列 (S−1/2)ln,l′n′ は、|n−n′| および |l−l′| の両方に関して指数関数的に崩壊するため、二重の局在性が確認され、効率的な数値的実装が可能である。
• この手法は理論的に妥当でスケーラブルであり、大規模な電子構造計算への応用が可能であるが、擬ポテンシャルを用いた完全な自己無撞着なテストはまだ実施されていない。