[論文レビュー] PhyGeoNet: Physics-Informed Geometry-Adaptive Convolutional Neural Networks for Solving Parametric PDEs on Irregular Domain

Han Gao, Luning Sun+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2020

Model Reduction and Neural Networks参考文献 24被引用数 21

ひとこと要約

この論文では、楕円座標変換を用いて不規則な領域に定義されたパラメトリックPDEを正則な参照領域に写像することで、物理則を組み込んだ幾何学に適応する畳み込みニューラルネットワークであるPhyGeoNetを提案する。この手法は、完全結合型PINNよりも高い精度と効率性を達成しており、CNNのインダクティブバイアスを活用しながらも、データフリーかつ物理則制約の下に保たれている。

ABSTRACT

Recently, the advent of deep learning has spurred interest in the development of physics-informed neural networks (PINN) for efficiently solving partial differential equations (PDEs), particularly in a parametric setting. Among all different classes of deep neural networks, the convolutional neural network (CNN) has attracted increasing attention in the scientific machine learning community, since the parameter-sharing feature in CNN enables efficient learning for problems with large-scale spatiotemporal fields. However, one of the biggest challenges is that CNN only can handle regular geometries with image-like format (i.e., rectangular domains with uniform grids). In this paper, we propose a novel physics-constrained CNN learning architecture, aiming to learn solutions of \emph{parametric PDEs on irregular domains without any labeled data}. In order to leverage powerful classic CNN backbones, elliptic coordinate mapping is introduced to enable coordinate transforms between the irregular physical domain and regular reference domain. The proposed method has been assessed by solving a number of PDEs on irregular domains, including heat equations and steady Navier-Stokes equations with parameterized boundary conditions and varying geometries. Moreover, the proposed method has also been compared against the state-of-the-art PINN with fully-connected neural network (FC-NN) formulation. The numerical results demonstrate the effectiveness of the proposed approach and exhibit notable superiority over the FC-NN based PINN in terms of efficiency and accuracy.

研究の動機と目的

• 標準的なCNNがPDEを解くための不規則な幾何形状を処理する能力に限界があることに対処すること。
• 複雑な領域におけるデータフリーで物理則に基づいたパラメトリックPDE解の学習を可能にすること。
• CNNのインダクティブバイアスと幾何的適応性を組み合わせ、一般化性能と効率性を向上させること。
• 深層学習の適用範囲を、幾何形状が変化するPDEやパラメータ化された境界条件を持つPDEへと拡張すること。

提案手法

• 不規則な物理的領域を、CNN処理に適した正則な参照領域に写像するため、楕円座標変換を用いる。
• PDE制約、境界条件、初期条件を直接ネットワーク学習中に満たすために、物理則に基づいた損失関数を適用する。
• 変換された参照領域上で標準的なCNNバックボーンを用い、パラメータ共有と空間的インダクティブバイアスを保持する。
• ラベル付きの解データを一切使用せず、PDEの残差と境界制約にのみ依存して、エンドツーエンドでネットワークを訓練する。
• 座標変換が微分可能であるため、トレーニング中に幾何的マッピングを経由したバックプロパゲーションが可能である。
• 各設定ごとに領域を再マッピングすることで、幾何形状や境界条件が変化するパラメトリックPDEにも対応可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラベルなしデータで不規則な領域におけるパラメトリックPDEをCNNベースのアーキテクチャが効果的に解けるか。
• RQ2 幾何的マッピングを施したCNNの性能は、完全結合型PINNと比較して、精度と収束速度の面で優れているか。
• RQ3 座標変換の使用が、複雑な幾何形状において解の忠実性をどの程度保持できるか。
• RQ4 この手法は、異なる領域形状やパラメータ化された境界条件に対しても一般化可能か。

主な発見

• PhyGeoNetは、特に複雑な幾何形状において、FC-NNベースのPINNよりも顕著に高い解の精度を達成した。
• CNNの空間的特徴抽出におけるインダクティブバイアスのおかげで、収束が早く、トレーニング時間も短縮された。
• 楕円座標変換の使用により、非長方形領域に対しても効果的なCNNの適用が可能であり、微分可能であることが保証された。
• 再トレーニングなしで、異なる領域形状やパラメータ化された境界条件に対しても、良好な一般化性能を示した。
• 物理則に基づいた損失関数のおかげで、PDEの残差と境界条件が非常に高い精度で満たされた。